2024年九年级中考数学压轴题突破--新函数的图象与性质探究问题

专题一 新函数的图象与性质探究问题 1.认识新函数 函数的形式是多种多样的.对我们已经学习过的正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数进行组合、变形、平移等就能构成新函数，例如 等；引入其他数学运算也能构成新函数，例如 等.对于所有的函数，其自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应(单值对应性). 2.探究新函数的图象与性质的一般过程 (1)求新函数自变量的取值范围：结合新函数的解析式，从使数学式子有意义和使实际问题有意义两个方面确定自变量的取值范围. (2)画新函数图象 ①通过给出的新函数解析式，取多个自变量，计算函数值，列出表格； ②在平面直角坐标系中描点，连线，画出新函数图象. (3)分析新函数图象性质：观察新函数图象，从最值、增减性、对称性、特殊点等方面分析. (4)新函数与方程、不等式：类比二次函数与方程、不等式，将求方程的解或不等式的解集转化为求两函数图象交点的横坐标或两函数图象不同位置关系对应的横坐标范围. 3.常见新函数的图象 含绝对值函数 y=|x| 组合函数y=x+ 分段函数y=x²x(x≤)) 平移函数y=x+1 典例剖析 典例1 基础型 某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行探究，探究过程如下，请补充完整. (1) 自变量 x的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x … -3 - -2 -1 0 y … 3 m -1 0 x 1 2 3 … y -1 0 3 ··· 其中,m= . (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. (3)观察函数图象，写出两条该函数图象的性质. (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应方程 2|x|=0有 个实数根; ②方程. 有 个实数根； ③关于x 的方程 有4个实数根，则a 的取值范围是 . 典例②进阶型 中考真题在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程.以下是我们研究函数 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题. (1)请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象. 方法点拨 第(1)问: 将 x=-2 代入新函数 表 达式计算，即可求出 m的值. 方法点拨 第(4)问: ②作直线 y=2，其与新函数 图象交点的个数，即 方 程 2|x|=2的实数根的个数. ③作平行于 x 轴的直线y=a,上下平移，当直 线 与 新 函 数 图象交点的个数为 4 时，符合题意，找到临界位置，即可求出 a的取值范围. (2)请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质. (3)已知函数 的图象如图所示.根据函数图象，写出不等式 的解集.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2) 压轴突破练 1.小云在学习过程中遇到一个函数： 下面是小云对其探究的过程，请补充完整. (1)当-2≤x<0时,对于函数. ,即 y₁=-x,y₁随x的增大而 ,且 对于函数 ,当-2≤x<0时,y₂ 随x的增大而 ,且. 结合上述分析，进一步探究发现,对于函数 y,当-2≤x<0时,y 随x的增大而 . (2)当x≥0时，对于函数y，y与x的几组对应值如下表. x 0 1 2 3 ... y 0 1 ... 综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数 y的图象. (2) 过点(0,m)(m>0)作平行于 x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线 l与函数 的图象有两个交点，则 m 的最大值是 2.已知y 是x的函数，自变量x的取值范围是 ，下表是 y与x的几组对应值. x 1 2 3 5 7 9 y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整. (1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系 xOy 中描出了点.根据描出的点，画出该函数的图象. (2)根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值 y约为 ; ②该函数的一条性质： . 3.在初中阶段