2024年九年级中考数学最值问题模型知识点梳理汇总

2024年中考数学最值问题模型知识点梳理汇总 最值问题1-将军饮马 一. 将军饮马： 1. 标志特点：折线段和最小、差最大问题 2. 基本方法: “翻折” 3. 核心思想: ① 在哪找点，关于谁翻折； ② 翻定(点) 不翻动(点); ③ 异侧和最小，同侧差最大. 4. 考点：① 两点之间线段最短； ② 点到直线垂线段最短 二. 和最小： 1. 模型1: 如图1, A、B为定点, P为l上动点, 求AP+BP最小值. 分析：① 折线段和最小→“将军饮马” ② 在/上找点，关于/翻折 ③ 异侧和最小，使得AP和BP在I的不同侧，翻折定点那么翻折A、B都可以 解析: ① 翻折AP, 则AP+BP=CP+PB≥BC(两点之间线段最短) ② 所求P点为 BC与l的交点 2. 模型2: (1) 如图2, A为定点, B、 C分别为l₁、l₂上的动点,求△ABC 周长最小值. (2) 如图3, A、D为定点, B、 C分别为l₁、 l₂上的动点，求四边形ABCD 周长最小值. 解析： (1) ① 翻折AB、AC则AB+BC+AC=BD+BC+CE≥DE ∴最小值为DE ② 所求B、C为 DE 与l₁、l₂的交点. (2) ① 翻折AB、DC则AB+BC+CD+AD (定值) =BE+BC+CF≥EF+AD(定值) ② 所求B、C为EF 与l₁、l₂的交点. 3. 模型3: 如图4, A为定点, B、C分别为直线l、 OA上的动点, 试求AB+BC最小值. 解析: ① 翻折AB至 DB,则AB+BC=BD+BC≥DE(点到直线垂线段最短)②B、C为DE与直线l、OA的交点. 4. 模型 4: “将军饮马有距离” (1)如图5, A、D为定点, B、C为直线l上两动点, BC为定值, 求AB+BC+CD最小值? (2)如图6, A、D为定点, B、 C为直线l₁、 l₂上的动点, BC⊥l₁, 求AB+BC+CD最小值? 解析： (1) ①BC为定值,只需求AB+CD最小即可; ② 平移AB 至CE, 则变成求CE+CD 最小, 基本将军饮马. (2) ①BC为定值, 只需求AB+CD 最小即可; ② 平移CD 至BE, 则变成求AB+BE最小, 基本将军饮马. 三. 差最大 1. 口诀：同侧差最大 2. 图形:如图1所示, A、B为定点, P为l上一动点, 试求|PB-PA|的最大值与最小值. 解析1：“最大值” ① 两边只差小于第三边, |PB-PA|≤AB, 当A、B、P 三点共线时, 取等号 ② 所以连接BA并延长与l的交点即为所求点 解析2：“最小值” ① 绝对值具有非负性|PB-PA|≥0, 当AP=PB 时成立 ②P为AB中垂线与l的交点. 四. 费马点： 1. 标志特征： “丫”线最值 2. 图形: 如图3, D为△ABC 内部一动点, 试求 的最小值. 解析：以△ABC一边(例如AB) 向外作等边三角形，连接对角线CE，则CE即为. 的最小值. 证明： Step1: 将△ABD 向外旋转60°, 则可得 ①AD=EF; ② 等边△BDF→BD=DF Step2: DA+DB+DC=CD+DF+EF≥CE 最值问题2一轨迹法 一. 轨迹法： 1. 标志特点：遇“动点”，找轨迹 2. 考点：① 两点之间线段最短； ② 点到直线垂线段最短 3. 轨迹类型: ① 直线轨迹； ② 圆轨迹; 二. 轨迹找法 1. 直线轨迹: ① 直接看出； ② 瓜豆原理； ③ 夹角定位法； (1) 主要说明：“夹角定位法” 如图1，l为定直线，A为l上一定点，B为动点，且AB 与直线l夹角为定值，则 B点的轨迹为直线l'. 【示例】如图2所示,等腰△ABC中,AB=AC, ∠B=30°,D为BC上一动点,以AD为边在右侧作等腰△ADE, AD=AE, ∠BAC=∠DAE,则动点E的轨迹为? 解析: ① 易证△ABD≌△ACE (SAS) ∴∠ACE=30°, 即E点轨迹为直线 ② 根据瓜豆原理，E点可以看做是D点绕A 点旋转120°得到的点，则E的轨迹为 BC绕点A 旋转120°的线段. 2. 轨迹为圆: ① 一中同长(定义) ; ② 定角对定边(一般为90° ) ③ 瓜豆原理 (1)一中同长：如图3，动点A到定点O的距离为定值，则A点的轨迹为以O为圆心的圆. 【示例】如图4,矩形ABCD中, AD=1, AB=5, E为AB上一动点, 连接DE 并将△ADE 沿着 DE翻折得到△DEF, 则F点的轨迹为? 解析: ∵AD=DF=1, ∴F 是以D为圆心，l为半径的圆，由于E点从A运动到B，分析起始位置和终止位置，F的轨迹不完整，是一段弧线. (2) 定角对定边: “一般为90°” 如图5, A为动点,满足∠A=90°,且∠A所对的边BC长度