2024年中考数学最值和路径专题练习--主从联动(瓜豆) 模型

主从联动(瓜豆) 模型 一、模型介绍 (一)基本模型 直线轨迹 已知: 定点A,动点P和Q, ∠PAQ为定值,AP为定值,点P在直线l上运动. 结论1: 点Q的轨迹是一条直线. 圆轨迹 已知: 定点A,动点P和Q, ∠PAQ为定值,APA为定值, 点 P在⊙O上运动. 结论2:点Q的轨迹是一个圆. 主从联动模型就是两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,两动点的运动轨迹相同. 主从联动模型也叫瓜豆模型,即俗话说的种瓜得瓜,种豆得豆,主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线,瓜在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆. (二) 结论推导 结论1:点Q的轨迹是一条直线. 证明: 在直线 l上任取一点 P', 连接 AP', 将线段 AP'绕点 A 旋转并放缩到线段 AQ', 使 且 过点Q',Q作直线m交直线l于点B, 则∠PAP'=∠QAQ', ∴ APP'∽ AQQ', ∴∠APP'=∠AQQ'. ∵∠AQB+∠AQQ'=180 , ∴∠AQB+∠APP'=180 , ∴∠PAQ+∠PBQ=180 , ∵∠PAQ为定值,∴∠PBQ也为定值, ∴点Q的轨迹是一条直线. 结论2:点Q的轨迹是一个圆. 连接OA, 将线段AO绕点A 旋转并放缩到线段AM, 使∠OAM=∠PAQ, 且 连接 OP,MQ, 则∠OAP=∠MAQ, ∴ AOP∽ AMQ, ∴点Q的轨迹是一个圆,圆心为M,半径为MQ. (三) 满分策略 遇到主从联动(瓜豆) 模型时,一般是先找到定点,主动点圆心和主动点然后连起来,绕定点旋转某特定角度构造旋转全等或放缩构造旋转相似,此时无论旋转后主动点运动到何处,从动点圆心和半径都是固定不变的,三点共线时取得最值. 也可找出主动点的运动轨迹并确定主动点的始末位置,根据主动点的特殊位置点确定从动点的始末位置和运动轨迹,然后进行计算. 二、典型例题 例1如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),点P是x轴上一动点,将线段PA绕点 P 顺时针旋转 60 得到线段PF,连接OF,则线段 OF长的最小值是 . 考点分析:旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨: 以AO为边向右作等边 AOB,连接AF, BF, 过点O作 OH⊥BF于点H,证 ABF≌ AOP,导角可得∠OBH=30 ,由垂线段最短可知OF的最小值即为线段 OH的长. 例 2如图, 在 ABC 中, 将 CB 绕点 C 逆时针旋转 90 得到 CD, 连接AD, 则AD的最大值是 . 考点分析:旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨: 将AB绕点A逆时针旋转90 得到AE,连接BD, BE,DE,证 EBD∽ ABC, 可得. 由AD≤AE+DE, 可得AD的最大值. 例3如图,在矩形ABCD中, AB=4, AD=3,点E在折线BCD 上运动, 将AE绕点A 顺时针旋转得到AF, 旋转角等于∠BAC, 连接DF, 则DF的最小值为 . 考点分析:旋转的性质、等矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质. 思路点拨: 将线段AD 绕点A 逆时针旋转得到AG, 旋转角等于∠BAC, 连接 GE, 过点 G 作 GH⊥AD 于点H,证 ADF≌ AGE, AGH∽ CAD, 求出AH, GH的长,分别计算点E在边 BC上和边 CD上两种情况下的DF的长,可得DF的最小值. 三、提分必练 (一) 基础 1.如图,在 ABC中, ∠ACB=90 , AC=BC=4,点D 是 BC 边的中点, 点P是 AC 边上一个动点,连接PD, 以PD为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ,连接CQ,则 CQ的最小值是 ( ). B. 1 C. D. 2. 如图,在平面直角坐标系中, A(1,0), B(5,0), 点P为y轴正半轴上的一个动点, 以线段PA为边在 PA的右上方作等边 APQ,连接QB,在点P 运动的过程中,线段QB长度的最小值为 . 3.如图,在矩形ABCD中, BC=2AB,点P为边AD上的一个动点, 将线段BP绕点B 顺时针旋转60 得到线段 BP', 连接PP', CP', 当线段CP'的长度最小时,. 'C的度数为 . 4. 如图, 在边长为2的等边 ABC中,点D是BC的中点,点E在线段AD上, 连接BE,在 BE的下方作等边 BEF,连接DF,当 BDF的周长最小时,∠BDF的度数是( ). A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 5. 如图, 在矩形ABCD中, 点 P 是 BC 边上一动点, 连接AP, 将线段AP绕点A 逆时针旋转 60 到AQ, 连接 DQ, 则线段DQ的最小值为( ). A. D. 3