微重点11圆锥曲线中二级结论的应用（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

微重点11圆锥曲线中二级结论的应用（3大考点+强化训练） 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 知识导图 考点分类讲解 考点一　焦点弦问题 1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与椭圆(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝－c＝. (1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝，|BF1|＝，＋＝. (2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝. (3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·tan . 2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与双曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－＝. 图1　　　　　　图2 (1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝，|BF1|＝，＋＝. 若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝，|BF1|＝，＝. (2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝. 若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝. (3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝. 3.已知直线 l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离． (1)抛物线焦半径公式：|AF|＝＝，|BF|＝＝，＋＝＝. (2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝. 4．焦点弦定理 已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，＝λ，则曲线的离心率满足等式|ecos α|＝. 易错提醒　(1)要注意公式中α的含义． (2)公式中的加减符号易混淆． (3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样． 【例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（    ） A．， B．，2 C．， D．，2 【变式1】（22-23高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为16 【变式3】已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(　　) A．2 B．2 C. D．2 考点二　等角的性质 1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过长轴上任意一点 N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点G的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA＝∠OGB(如图1)． 图1　　　　　图2　　　　　图3 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点 A，B与对应点G的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB(如图2)． 3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点 A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3)． 规律方法　根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据． 【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【变式2】（23-24高二下·河