微重点10 离心率的范围问题（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

微重点10　离心率的范围问题（3大考点+强化训练） 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 知识导图 考点分类讲解 考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 【例1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(2023·亳州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________． 考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 【例2】（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　) A．(1,1＋) B．(1,1＋) C．(1,1＋] D．(1,1＋] 考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围 规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 【例3】(2023·无锡模拟)已知点P在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为(　　) A. B. C．2 D. 【变式1】（2022高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·广东·阶段练习）过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知两动点，在椭圆：上，动点P在直线上，若恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 强化训练 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川攀枝花·三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则