湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(一）数学试题

2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.设等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 4.若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是(    ) A. B. C. D. 5.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数的两个零点分别为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 7.已知，则有(    ) A. B. C. D. 8.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，，且，则双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线，，平面，，则下列说法错误的是(    ) A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 10.如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线直线的倾斜角为锐角与抛物线相交于，两点在轴的上方，在轴的下方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则(    ) A. 当直线的斜率为时， B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线使得 D. 若，则直线的倾斜角为 11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则(    ) A. B. C. 是与的等差中项 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 13.在四面体中，，，若，则四面体体积的最大值是______，它的外接球表面积的最小值为______． 14.已知反比例函数图象上三点，，的坐标分别，与，过作直线的垂线，垂足为若恒成立，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为，，的空心小球，球内装有难度不同的谜语每次随机抽取个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏已知标号为，，的小球个数比为：：，且取到异号球的概率为． 求盒中号球的个数； 若甲抽到号球和号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序猜对谜语的概率相互独立 球号 号球 号球 答对概率 奖金 16.本小题分 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题： 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． 求； 若，设点为的费马点，求． 17.本小题分 如图，正方体的棱长为，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点． 若，，分别是棱，，的中点，求棱和平面所成角的余弦值； 求的最小值与最大值． 18.本小题分 如图，已知抛物线：，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于，与，． 若，的斜率分别为，，求四边形的面积； 设， (ⅰ)找到，满足的等量关系； ，交于点，证明：点在定直线上． 19.本小题分 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合，的函数称为次置换满足对任意，的置换称作恒等置换所有次置换组成的集合记作对于，我们可用列表法表示此置换：，记，，，，，，． 若，计算； 证明：对任意，存在，使得为恒等置换； 对编号从到的扑克牌进行洗牌，分成上下各张两部分，互相交错插入，即第张不动，第张变为第张，第张变为第张，第张变为第张，，依次类推这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：集合或， ， ． 故选：． 分分别求出集合，，利用交集定义能求出结果．