江苏省南京市燕子矶中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市燕子矶高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数在处的导数为，则(    ) A. B. C. D. 2.已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，则(    ) A. B. C. D. 5.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为(    ) A. B. C. D. 6.从由，，，，组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于的个数是(    ) A. B. C. D. 7.函数在区间上的最大值是，则等于(    ) A. B. C. D. 8.若，则的切线的倾斜角满足(    ) A. 一定为锐角 B. 一定为钝角 C. 可能为直角 D. 可能为 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.给出下列命题，其中正确的是(    ) A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10.若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围的子集有(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法． 12.已知数列满足，，则数列的通项公式 ______． 13.已知函数若函数在上单调递减，则实数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 已知函数． 求函数在上的最大值； 证明：当时，． 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． 求证：； 若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 16.本小题分 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，记直线，的斜率分别为，． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ当时，求直线的方程； Ⅲ求证：为定值． 17.本小题分 若各项均为正数的数列的前项和满足，且． 判断数列是否为等差数列？并说明理由； 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 18.本小题分 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． 若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围； 若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值； 若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为函数在处的导数为， 则． 故选：． 利用导数的定义结合所求的式子，进行变形求解即可． 本题考查了导数定义的运用，解题的关键在于变形，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：，， ， ， 可设， ， ，解得， 或， 设点的坐标为，则， 或，解得或， 故点的坐标为或． 故选：． 根据已知条件，结合共线向量的性质，以及向量模公式，即可求解． 本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于中档题． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，属基础题． 先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于的不等式，求得的范围． 【解答】解：方程，即表示焦点在轴上的椭圆 故 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的线性表示与数量积应用问题，是基础题． 根据题意画出图形，结合图形，利用中线的性质表示出向量与，求出它们的数量积即可． 【解答】 解：如图所示， 棱长为的正四面体中，，分别是，的中点， 则 ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：由球的体积公式可得，得， 所以时，体积关于半径的瞬时变化率为． 故选：． 球的体积公式为，对其求导并代入计算即可 本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：因为这个两位数大于， 所以选取十位数为或，个位数不重复则在剩余的个数字里选择个， 这个两位数大于的个数为． 故选：． 数字排列问题，根据符合题意的要