2024年中考九年级数学复习提升训练——因式分解 压轴题

2024年中考九年级数学复习提升训练——因式分解 压轴题 1．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 2．材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时． 例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，； 材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”． 根据材料回答： (1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解； (2)试证明10不是：“雪松数”； (3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值． 3．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 4．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； (2)若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] (3)已知，则______； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] (5)已知实数x、y满足，求的最值． 5．如果一个三角形有两个顶点满足横坐标的平方和等于横坐标积的二倍，且这两个顶点不在坐标轴上，则称这个三角形为垂轴三角形，这两点称为垂顶点． (1)若已知，，，判断是否为垂轴三角形； (2)如图，为垂轴三角形，点O是坐标原点．设点，．若，以为边作等边，顶点P在落在第二象限，平分，且，连接交y轴于点E． ①探究与的位置关系； ②若P点的坐标为，求点F的坐标（用含a、m的式子表示）． 6．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 7．材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”； 材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定； 例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，； 又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，． (1)363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________； (2)若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N． 8．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠