2024年中考数学专题训练：不等式与不等式组 压轴题

2024年中考数学专题训练：不等式与不等式组 压轴题 1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程的两解，与互为相反数． (1)求a、b、c、d的值； (2)若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，两点都运动在线段上（不与C、D两个端点重合）？ (3)在（2）的条件下，四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由． 2．对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． (1)点B是点A到点C的________倍分点，点C是点B到点A的_________倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是________； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，我们将称为点与点的“直角距离”，记作． 例如：点与点的“直角距离” ． 【问题解决】 (1)已知点坐标为． ①点与点的“直角距离” 　 　； ②若点与点的“直角距离” ，则的值为 　　． (2)已知和． ①在点，，中，到，两个点的“直角距离”之和相等的两个点是 　　； ②若点到，两个点的“直角距离”之和为6，则，的取值范围分别是 　　． 4．某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格； (2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱． (3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？ 5．在平面直角坐标系xOy中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的纵坐标为，，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在点A、B之间的部分为图象M（包含A，B两点）． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)当时，求m的取值范围； (3)若，当图象M的最低点到x轴的距离等于抛物线的最低点到x轴的距离时，直接写出m的取值范围； (4)当抛物线的顶点是图象M的最低点时，图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出t的取值范围． 7．【阅读材料】： 材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：； 材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ，是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出，的值； (2)已知，均为非负数，，求的取值范围； (3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值． 8．在平面直角坐标系中，对于点，点，给出如下定义：如果点与原点的距离为，点与点的距离是的倍（为整数），那么称点为点的“倍关联点”．    (1)当时， ①若点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标为______； ②若是点的倍关联点，且满足，，那么整数的最大值为______； (2)在中，，，，，若，且在的边上存在点的2倍关联点，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”． (1)当时， ①如果点的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________； ②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么整数k的最大值为______； (2)已知在中，