专题2 旋转中的全等半角模型-【浙教版】2023-2024学年八年级数学下册聚焦课本培优专题训练讲义

专题2 旋转中的全等半角模型 半角模型问题大家都遇到很多了，一个角与另一个角共顶点，且该角的大小是另一个角大小的一半，常见的是直角与45°角的组合。半角模型通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，即将这个半角绕顶点旋转或通过截长补短的方法，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等或相似。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。知识梳理 模型.旋转中的全等半角模型模型分析 1、 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 2、 模型特征：等线段，共端点，含半角 3、 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 4、 解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 模型展示 1） 正方形半角模型 条件：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE，AF分别与BD相交于点M，N。 结论一：EF＝BE＋DF； 【证明一】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合， 由于旋转可得AF＝AG， 在△AEF与△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， 即BE＋DF＝EF. 【证明二】如图，将CB延长到点G，使BG=DF，连接AG, ∵正方形ABCD易证△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG 在△AEF与△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， 即BE＋DF＝EF. 结论二：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE. 【证明】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合. ∵旋转，∴∠1＝∠H， 又∵△AFE≌△AFH， ∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2； ∵旋转，∴∠4＝∠G， 又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4， 即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE. 结论三： 【证明】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合， 通过1中的结论可得△AEF≌△AEG， 即. 结论四：AH＝AB 【证明】由上述结论可知AE平分∠BEF， 又∵AB⊥BC，AH⊥EF， ∴AH＝AB（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 结论五： 【证明】由结论1可得EF＝BE＋DF， 则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB. 结论六： 【证明】如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM. 在△AMG与△AMN中， ， ∴△AMG≌△AMN， ∴MN＝MG，DN＝BG， 由旋转可得∠ABG＝∠AND， ∴∠GBM＝∠GBA+∠ABM＝90º， 在Rt△GBM中，， 即. 2）等腰直角三角形半角模型 条件：△ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论一：△DAE≌△GAE 【证明】如图，将△ABD绕着点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接AG. ∵旋转， ∴△ABD≌△ACG ∴AD=AG，∠BAD=∠CAG ∵∠DAE=45° ∴∠GAE=45° ∴△AED≌△AEG（SAS） 结论二：∠ECG==90°； 【证明】由结论一得△ABD≌△ACG ∴∠ABD=∠ACG ∵∠BAD=90° ∴∠ABC+∠ACB=90° ∴∠ACB+∠ACG=90° ∴∠ECG==90°； 结论三：DE2＝BD2＋EC2； 【证明】由结论一得△ABD≌△ACG,△AED≌△AEG ∴BD=CG，DE=EG 由结论二得Rt△ECG ∴EG2＝CG2＋EC2 ∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论一：△EDF≌△GDF 【证明】如图，将△DBE绕着点D顺时针旋转90°得到△DCG连接CG. ∵旋转， ∴△DBE≌△DCG ∴DE=DG，∠BDE=∠CDG ∵∠BDC=120°,∠EDF=60° ∴∠GDF=60° ∴△EDF≌△GDF（SAS） 结论二：EF＝BE＋FC； 【证明】由结论一得△EDF≌△GDF ∴EF=FG ∵FG=CF+CG 又∵△BDE≌△CDG ∴BE=CG ∴EF＝BE＋FC 结论三：AEF的周长=2AB； 【证明】由结论二可得EF＝BE＋FC， 则C△AEF=AF+AE+EF=AF+AE+BE＋FC=AB+AC=2AB 结论四：DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC； 【证明】∵旋转 ∴∠BED=∠G 由结论一得△EDF≌△G