2024年韩国数学竞赛决赛试题

2024年韩国数学竞赛决赛 第一天 1.设a,b,c,d为互不相同的正奇数，并且两两互质。对于正整数n ,定义 fm)=+l」++la」 证明 (-10=1 abcd n=1 2.对于一个正整数n(≥2)，有2m个糖果。甲将2n个糖果分配到 4n个盒子B1,B2,·,B4m中。乙检查甲放在每个盒子中的糖果 数量。之后，乙从4n个盒子中选择恰好2m个盒子 B1,Bk2,·,Bkn,使得k2n=4n,且对于每个 i=1,2,·,2n,k:-k-1要么是1要么是3，(ko=0),随 后，乙取走所选盒中的所有糖果。 甲取走乙没有选择的2个盒子中的所有糖果。如果甲和乙都使 用最佳策略以尽可能多地取走糖果，甲能取走多少个糖果？ 3.找出满足以下条件的最小实数p(≤1)： 对于实数x1,工2，·，2024,1,2，·，2024， 如果0≤x1≤x2≤·≤x2024≤1， 2024 2024 0≤1≤2≤··≤y2024≤1， x=∑=2024p, =1 2024 那么-定有∑，(225-4-24-)之1-P =1 第二天 4.已知T为△ABC其外接圆，过BA延长线上一点D作T的切线，切点 分别为E,F.直线EF与AC交于点T,且T卡C,过D作直线PQ与 T交于点P,Q,其中P在劣弧BC上.设BQ,DT交于点X,PT与T 再次交于点Y,求证：C,X,Y三点共线. 5,给定一个正整数n≥4。设a1,a2,·,an为n个两两不同的正整 数，其中对于所有1≤i≤n,a:≤n。确定下列表达式的最大 值： 含a-a1+a2-a4 当然地，其中所有下标都是模n的。 6.证明存在一个正整数K,满足以下条件：对于任何大于K的素数 P,满足p2|aP-1-1的正整数a的数量小于 220240