2024年加拿大数学奥林匹克资格复活赛试题

2024年加拿大数学奥林匹克资格复活赛 1. 求所有函数f:B→R,使得对任意&.uER,都有 f(+f(r)-f(r)(1+y). 2. 如果正整数N的三进制表示中没有两个相邻的数码是 相同的,则称N是好数,例如:289是好数,因为它的三 进制表示为1012013,将所有好数从小到大排列,求第 2024个好数(用十进制表示). 3. 锐角△ABC的垂心为H.AB<AC,M为张BAC 的中点:已知B.H.M三点共线,点M到AB.BC的距 离分别为1和6.求△ABC面积的所有可能值 4. 数列([a)满足:a1=3.n1-}-n+1' 2 nEN.求证:对任意正整数n. 11 2-<a+a++a< 11 5. 设S-((z.)10z.y<4.x.Ez.在其中随机选 取3点作为一个三角形的顶点,求三角形面积的平方的数 学期望. __ 6.对任意给定的实数p.9.r.求方程组 fa2+b+c=P {a+b2+c- a+b+e2=r 的解(a.久c)的组数的最大值,并给出取最大值时的一组 p.0.7 7. a.在△ABC中。I为内心。H为△BIC的垂心. 求证:AH||BC当且仅当H在以A1为直径的圆上 b.在△ABC中,I为内心.O为外心.H为垂心.已知 10=IH,求证:△ABC的内角中必有一个为60°. 8.给定一个由X和O组成的序列,序列长度为N.其中 没有连续三个字符是相同的,Maia可以交换序列中两个相 邻的字符,每次交换后,如果产生了连续三个及以上的相 同字符,它们将被全部消除,直至不再有连续三个字符是 相同的,例如,对初始序列XXOOXOXO.Maia交换第5 个和第6个字符,消除过程如下: xxoooxxo→xxxxo→o 求N的最大值,使得Maia无法保证在一系列交换后,能 够消除所有字符,(如果能正确证明N的上界和下界,将 获得部分分数) 2