2024年葡萄牙数学奥林匹克竞赛试题

2024年葡萄牙数学奥林匹克 程国根译 第一天 1.求最小的正整数n,使n的数码和与n+1的数码和均为17的倍 数。 2.设△ABC三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,已知 AD⊥BE,AD=12,BE=9.求CF的长度 3.一个数列只由0和1组成，且没有相邻的两项同时为0.存在多少 个长度为10的这样的数列？ 第二天 4.一圆内切于边长为10的正方形ABCD,在BC和AD上的切点 分别为M,N.AM和圆再次交于点I,点I在MN上的射影为P. 求PI的长度 5.在一次两国的体育比赛中，每个国家有5支球队参赛.每支球队与 两个国家的各一支球队比赛一场，一场在主场，一场在客场.在这次比 赛中，可以有几种不同的安排方式？ 6.亚历山大和贝纳多进行一个游戏，起初，袋子里共有n个球，第一 轮，亚历山大可以从袋子里拿一个球；第二轮，贝纳多可以从袋子里拿 一个或两个球，以此类推.他们轮流取球，在第k轮，他们可以取1个 到k个球，取走袋子中最后一个球的人获得胜利.对于每一个正整数 n,谁有必胜策略？