四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性测试数学试卷

树德中学高2022级3月阶段性测试数学试卷 命题：杨世卿 审题：彭月 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么取次后剩下的长度的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 18 4. 设，，，，，数列，则的前100项和是（ ） A. B. C. D. 0 5. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（ ） A. 271 B. 331 C. 1531 D. 3067 6. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知导数，且，，设，则（ ） A. 4028 B. 2024 C. 2023 D. 8. 有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦． A. 4 B. 5 C. 15 D. 63 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在处的切线斜率是 D. 过点的切线方程是 10. 下列有关等差和等比数列的说法，正确的是（ ） A. 若为等比数列，则为等差数列 B. 若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列是常数列 C. 两个不同的正数的等差中项大于它们的等比中项 D. 若为递增的等比数列，则其公比大于1 11. 设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个满足前项和为的数列的通项公式；________． 13. 如图，角的始边与轴非负半轴重合，终边交单位圆于点，则当时，点纵坐标读数的平均变化率为________，其在处的瞬时变化率为________． 14. 有一类有趣的数列被称为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以为首项的“外观数列”记作，如：1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11，第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得的其它项；再如：3，13，1113，3113，132113…若的第项记作，的第项记作，设，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 回归课本． （1）已知等比数列的首项为，公比为，写出其前项和的公式及其推导过程； （2）写出函数导数及其推导过程（用作差，求比值，取极限的定义推导）． 16. 设数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）数列满足，将与的公共项从小到大排列构成新数列，求的前项和． 17. 在党中央的“棈准扶贫”政策支持下，小王2023年底获得了扶贫免息贷款10000元，并于2024年1月初用于他的农产品加工销售创业项目，因产品质优价廉，上市后供不应求。据前两个月的经营情况测算；在一定时期内（不低于一年），每月获得的利润可稳定在该月月初投入资金的．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是． （1）求； （2）求与的关系（表示成（，为常数）的形式）； （3）求，并预估小王在202