2024年普通高等学校招生圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题及答案

2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试䖭指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线与交于，两点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（ ） A. 估计该市考生的成绩低于60分的比例为 B. 估计该市考生成绩的众数为60 C. 估计该市考生成绩的平均数为70.6 D. 估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 10. 记函数的导函数为，已知，若数列，满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 已知抛物线，为坐标原点，过作轴的垂线交直线于点，点满足，过作轴的平行线交于点（在的右侧），若，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，若，，则__________． 13. 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为__________；若，则三棱锥体积的最大值为__________． 14. 已知数列满足，函数的极值点为，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形． （1）证明：； （2）若，求二面角正弦值． 16. 已知数列的各项均为正数，，． （1）若，证明：； （2）若，证明：当取得最大值时，． 17. 已知函数（，）． （1）讨论的单调性； （2）若存在极值点，证明：随着的增大而增大． 18. 某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“”和“”两种卡片，每位玩家的初始分数为0，每获得一张“”加1分，每获得一张“”減1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕次，设该玩家获得“”的次数为，最终分数为． （1）若玩家每次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，求的分布列与数学期望，并直接写出的值； （2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“”和“”的概率．计数器会记录玩家已经点击屏幕的次数（初始值为0），若为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，若为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”的概率为，获得“”的概率为．求． 附：若随机变量和的取值是相互独立的，则． 19. 已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列） （1）当时，判断四边形的形状； （2）设为坐标原点，证明：为定值； （3）求四边形面积的最大值． 附：若方程有4个实根，，，，则，． 2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试䖭指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选