第3章复数章末小结课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 第3章章末小结 1 知识导图 2 题型1 复数的基本概念 例1 设，求当 取何值时， （1） 是纯虚数； （2） 是实数. 题型探究 3 [解析] （1）若为纯虚数，则 即解得 所以当时， 是纯虚数. （2）若是实数，则 解得 所以当或时， 是实数. 题型探究 4 &1& 复数相关概念的应用技巧 （1）正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念（如实数、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模）的前提. （2）两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 题型探究 5 题型2 复数的四则运算 例2（1） （2023年新高考全国Ⅰ卷）已知，则 ( ) . A A. B. C.0 D.1 （2）（2023年全国甲卷）若复数，，则 ( ) . C A. B. C.1 D.2 题型探究 6 （3）（2022年新高考全国Ⅰ卷）若，则 ( ) . D A. B. C.1 D.2 [解析] （1）,, .故选A. （2）,且 , 解得 .故选C. （3）,,, .故选D. 题型探究 7 &2& 利用复数的四则运算求复数的一般思路 （1）复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将 实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算. （2）复数的除法运算：主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算 化简. 题型探究 8 题型3 共轭复数，复数的模 例3（1） （2022年全国甲卷）若，则 ( ) . D A. B. C. D. （2）（2022年北京卷）若复数满足，则 ( ) . B A.1 B.5 C.7 D.25 [解析] （1）因为，所以 ， 所以 .故选D. （2）由题意有，故 .故选B. 题型探究 9 &3& 化复为实，利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条 件，是一种复数问题实数化的思想.根据复数模的意义，可以简化计算. 题型探究 10 题型4 复数的几何意义及其应用 例4 已知是复数，，均为实数，且 在复平面内对应的点在第一象限， 求实数 的取值范围. 题型探究 11 [解析] 设 ， 则为实数， . 又 为实数， ， . 又 在复平面内对应的点在第 一象限， 解得 . 实数的取值范围是 . 题型探究 12 &4& 1.任何一个复数 与复平面内一点对应， 而任一点 又可以与以原点为起点，点 为终点的向量 对应， 这些对应都是一一对应，即 2.设， ，其对应的复平面内的点分别 为，，所以点， 之间的距离为 . 题型探究 13 题型5 复数的三角形式（*） 例5 把下列复数转化为三角形式： （1）；（2）；（3） . [解析] （1），辐角的主值为 ， 所以 . （2），辐角的主值为，所以 . （3），由和点 在第四象限，得辐角 的主值 ， 所以 . 题型探究 14 &5& 复数的代数形式化为三角形式的步骤： （1）复数的模 ； （2）由及点 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只需求 出复数的辐角的主值即可）； （3）根据公式写出复数的三角形式. 题型探究 15 题型6 关于复数的方程问题 例6 已知关于的方程 . （1）若方程有实数根，求锐角 和实数根； （2）证明：对任意 ，方程无纯虚数根. 题型探究 16 [解析] （1）设实数根是 ， 则 ， 即 . ，， ，且 . 又， . （2）若方程存在纯虚数根，设为 ， 则 ， 即 此方程组无实数解. 对任意 ，方程无纯虚数根. 题型探究 17 &6& 解关于复数的方程的依据是复数相等的条件，由此建立方程（组）求解. 题型探究 18 欧拉公式 欧拉公式是什么？为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式？下面让我们一起 来了解一下吧. 欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用于复分析领域的公式，它将三 角函数与复数、指数函数相关联.之所以称它为欧拉公式，是因为欧拉公式是由莱昂哈 德·欧拉提出来的，所以用他的名字命名.欧拉公式提出，对任意实数 ，都存在 ，其中是自然对数的底数，是虚数单位，而和 则是余弦、 正弦对应的三角函数，参数则是以弧度为单位.这一复数指数函数有时还写作{ 拓展延伸 19 （英语：，余弦加正