第2章三角恒等变换章末小结课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 第2章章末小结 1 知识导图·明架构 题型探究·悟思路 拓展延伸·育素养 2 知识导图 3 题型1 三角函数求值问题 例1（1） （2023年新高考全国Ⅱ卷）已知 为锐角，，则 ( ) . D A. B. C. D. （2）（2023年新高考全国Ⅰ卷）已知,，则 ( ) . B A. B. C. D. 题型探究 4 （3）（2022年浙江卷）若,，则_____， __. 题型探究 5 [解析] （1）由，得,又 为 锐角，所以，所以 .故选D. （2）依题意得 所以 , 所以 , 题型探究 6 所以 .故选B. （3）（法一：利用辅助角公式处理）， ， 即，即 ， 令，则，则 ， ，，即 ， ， 则 . 题型探究 （法二：直接用同角三角函数关系式解方程）， ， 即 . 又，将代入得 ， 解得 ， . 题型探究 小结 解决三角函数求值问题的基本方法：将待求式用已知三角函数表示，将已知条件 转化，推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时，首先是分析 已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值. 题型探究 9 题型2 三角函数的化简与证明 例2 化简： . [解析] 原式 . 题型探究 10 小结 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路：（1）观察函数的特点， 已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；（2）观察角的特点，它们之间可通 过何种形式联系起来；（3）观察结构的特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一. 题型探究 11 题型3 三角恒等变换的应用 例3 如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧 上一动点，四边形是矩形， .求矩形 的面积的最大值及取得最大值时 的值. 题型探究 12 [解析] 因为 ， 所以，则 . 又，所以 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以当，即时，函数 取得最大值， . 题型探究 13 小结 三角恒等变换的应用，在具体过程中体现的是化归思想，是一个“化异为同”的过 程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角” “复角化复角”等. 题型探究 14 题型4 三角恒等变换与三角函数的综合问题 例4 （2021年浙江卷）设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数在, 上的最大值. 题型探究 15 [解析] （1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 . （2）由题意得 ， 由,，可得, ， 所以当，即时，函数取得最大值，最大值为 . 题型探究 16 小结 这类问题以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三 角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化 简，将函数表达式变形为或 的形式，然后 再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 题型探究 17 题型5 三角恒等变换与解三角形的综合 例5 （2022年新高考全国Ⅰ卷）记的内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）若，求 ； （2）求 的最小值. 题型探究 18 [解析] （1）,.由 ,得 . ，， . 题型探究 19 （2）由（1）得，且 ， ， . 由得， ， ， 当且仅当时取“”，的最小值为 . 题型探究 20 小结 此类题目仍考查诱导公式、两角和差公式及二倍角公式，但需要注意题目中的隐 含条件，如 . 题型探究 21 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 在钝角三角形中,已知为钝角,,都是锐角,试探究 , ,的大小,并把,, 按从小到大的顺序排列起来. 拓展延伸 22 1.当 , 时,求,, 的值,并比较它们的大小. [解析] 当 , 时, , , , . 拓展延伸 23 2.当 , 时,求,, 的值,并比较它们的大小. [解析] 当 , 时, , , . , . , , . 拓展延伸 24 3.由问题1,2你能得到什么结论?并证明你的结论. [解析] 由问题1,2猜想 .证明如下： 为钝角, , , , , , ,即 . , . 综上所述， . 拓展延伸 25 4.若将为钝角三角形改为为锐角三角形,,, 的大小关系又如何？ [解析] , . 为锐角三角形,,,, , , , . 综上所述, . 拓展延伸 26 已知,,是的三个内角,,若任意交换两个角的位置, 的值 是否变化？证明你的结论. 拓展延伸 27 [解析] 任意交换两个角的位置, 的值不变.证明如下： ,,是 的三个内角, , . , 因此任意交换两个角的位置, 的值不变. 拓展延伸 28 $