6.3 数学建模案例（一）：最佳视角课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第6章 数学建模 6.3 数学建模案例（一）：最佳视角 1 #b# 了解视角的概念，运用所学知识解决实际测量的高度问题，掌握数学建模活动的完整 过程.（数学建模） 学习目标 2 一、问题背景 1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的 什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？ 将米勒问题转化为一般数学问题： 在已知直线的同侧有，两点，试在直线上求一点，使得对， 两点的张 角，即 最大？ 合作探究 3 二、模型的建立与求解 1.建立数学模型 （1）最大视角问题可以抽象成下面的数学模型：如图，树顶离地面 米，树上 另一点离地面米，在离地面米的 处看此树，离此树的水平距离为多少米时 看， 的视角最大？ 合作探究 4 （2）模型求解 过点作，交于点 ，如图所示， 则，， ， 设 ， ， . 在中， ， 合作探究 5 在中， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 取得最大值，即 最大， 所以当离此树的水平距离为米时看， 的视角最大. 合作探究 2.模型的进一步讨论 按照数学建模的流程，还需要对模型求解的正确性进行检验.以观赏一幅悬挂在美 术馆墙面上的画为例，参观者脚步的左右移动和前后移动分别对应于通过脚步移动寻 找人眼与画作在横向以及纵向上的最大张角.你可以选择模型所得的最佳视角的位置以 及其他的位置，体验模型结果的合理性. 而从最佳视角问题本身来看，也可对上述问题做进一步拓展.例如： （1）在电影或电视拍摄过程中，如果升降机的水平位置固定，现场指挥人员经常 对他乘坐的升降机的高度进行调整以拍摄空中的场景.如何求出工作人员的位置使其观 看场景最清楚？ 合作探究 7 （2）当人们眺望对面山顶的景物（如岩崖画、观光塔）时，可能位于水平地面上、 有一定坡度的山坡上或者上述两者兼而有之.如何找出视野最清楚的观景位置？ 合作探究 8 问题研究一：屏幕的视角问题 在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角.研究表明，视 角在 范围内视觉效果最佳.某大广场竖立的大屏幕，屏幕高20米，屏幕底部距 离地面11.5米.站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面 米处的某人，眼睛位置距离地面 高度1.5米，观察屏幕的视角为 （情景示意图如图所示）. 合作探究 9 （1）为探究视觉效果，请从 ， ， 中选择一个作为，并求 的表达式； （2）根据（1）的选择，探究 是否有达到最佳视角效果的可能. 合作探究 10 [解析] 过点作于点，则 ， ，，设 ， . （1） . 合作探究 11 （2） ， 当且仅当，即 时， 取到最大值，最大值为 ， 因为 在上单调递增，所以观察屏幕视角的最大值为 ， 且 ， 故 有达到最佳视角效果的可能. 合作探究 12 问题研究二：最远距离问题 如图，有一壁画，最高点处离地面6米，最低点 处离地面3米.若从离地面高2米的点 处观赏它，视角为 .当点离墙壁多远时，视角 最大？ 合作探究 13 [解析] 设 ， ，则视角 . 设点到墙壁的距离为米，则， ， 所以当且仅当 ， 即时等号成立 ， 所以当时，视角 达到最大， 故当时，点到墙壁距离为2米，此时视角 达到最大. 合作探究 14 问题研究三：广告牌的视角问题 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点 的上方悬挂竖直 高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点恰好为的中点，电梯 的坡度 .某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角 .当某人 在扶梯上观察广告牌的视角 最大时，求 的长. 合作探究 15 [解析] 过点作于点 ，如图所示， 设，则， ， ， ， 当取最大值时，即 取最大值， ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 . 合作探究 16 问题研究四：塔的视角问题 如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为 ，沿倾斜角为 的 斜坡前进 后到达处，休息后继续行驶到达山顶 .山顶处有一塔 ，从点到点的登山途中，队员在点处测得塔的视角为 ， 若点处的高度，则为何值时，视角 最大？ 合作探究 17 [解析] 如图，过点作于点，过点作于点 ， 因为 ， 所以 ， 因为点在上，，所以 ， 所以， ， 所以 合作探究 18 ， ， 令，则 ， 所以 ， 当且仅当，即，时， 取得最大值， 所以当时，视角 最大. 合作探究 $$