2025届高三数学一轮复习夯实练36：三角函数中的综合问题

一轮复习夯实36　三角函数中的综合问题 1.(2022·浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=. (1)求sin A的值; (2)若b=11,求△ABC的面积. 2.(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,∠A=120°.求: (1)sin B的值; (2)c的值; (3)sin(B-C)的值. 3.(2024·北京通州统考模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使f(x)的解析式唯一确定. (1)求f(x)的解析式: 条件①:f(x)为奇函数; 条件②:f(x)图象上相邻两个对称中心间的距离为; 条件③:f(x)图象的一条对称轴为直线x=. (2)设函数g(x)=f(x)+f(x+),求g(x)在区间[0,]上的最大值. 4.(2022·全国乙,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)若A=2B,求C; (2)证明:2a2=b2+c2. 5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B)． (1)求a的值； (2)若△ABC的面积为，求△ABC周长的最大值． 6.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B；　(2)求的最小值． 7.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2. (1)当BD长度变化时，cos A－cos C是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出S＋S的最大值． 8．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，CD＝，且AB＝BD＝DA. (1)若AB＝，求cos∠ABC的值； (2)求四边形ABCD面积的最大值． 9．请从①cos 2C＋cos C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0； ③ccos B＋(b－2a)cos C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． (1)求角C； (2)若c＝1，D为△ABC外接圆上的点，·＝2，求四边形ABCD面积的最大值． 参考答案 1.解 (1)∵cos C=且0<C<π, ∴sin C= 又∵4a=c, 由正弦定理得, , ∴sin A=sin C= (2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C, c2=112+(c)2-2c×11, c2=112+c2-c, 即c2+c-112=0, 整理得5c2+24c-880=0,解得c==4(负值舍去), ∴a=4=5. ∴S△ABC=absin C=5×11=22. 2.解 (1)由正弦定理可得,即sin B= (2)由余弦定理可得cos A=, 即-, 解得c=5或c=-7(舍去). (3)由(1)知,sin B=且B为锐角, 所以cos B=, 所以sin(B-C)=sin[B-(60°-B)]=sin(2B-60°)=sin 2B-cos 2B=sin Bcos B-(cos2B-sin2B)=[()2-()2]=- 3.解 (1)若选①②:由①知f(x)为奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称,则φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=0. 由条件②得=π,解得ω=2, 所以f(x)=sin 2x. 若选②③: 由条件②得=π,解得ω=2. 由条件③得2+φ=+kπ,k∈Z, 解得φ=kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=0,所以f(x)=sin 2x. 条件①③无法确定f(x)的解析式. (2)由题知g(x)=sin 2x+sin[2(x+)]=sin 2x+sin 2xcos+cos 2x·sinsin 2x+cos 2x=sin(2x+).因为0≤x, 所以2x+, 所以当2x+,即x=时,g(x)取得最大值,最大值为 4.(1)解 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),A=2B, ∴sin Csin B=sin Bsin(C-A). 又sin B>0,∴sin C=sin(C-A). ∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=, 又A+B+C=π,=π,解得A=C= (2)证明 (证法一)∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin C·cos A-cos Csin A), 即sin Csin Acos