2024年九年级中考数学专题训练——手拉手模型

手拉手模型 一.求手拉手的夹角 1. 如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由 2. 和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由. 3. 如图1，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁做等边三角形和等边三角形，连接和BC相交于点Q， （1）求证：． （2）求的度数． （3）如图2所示，和仍为等边三角形，但和不在同一条直线上，是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论。 4. 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系，并给予证明． 二.证明角平分线 1. 如图，在中，以AB，AC为边向外作等边和等边，连结BE，CF交于点O 求证：（1）； （2）AO平分∠EOF． 2. 如图两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）AE与DC的夹角为60°； （2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC． 3. 如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？ （如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？） 4. 等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD， 证明：（1）AE＝DC； （2） AE与DC的夹角为60°； （3） （3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC． 三．三点共线时，求角的关系 1. 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β． （1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． （2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 2. 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE,∠DAE＝∠BAC，连接CE. (1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE为多少？说明理由； (2）设∠BAC＝α,∠BCE＝β. ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，简要证明． 四．等边三角形中的手拉手 1. 如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN． 证明：（1）△ACE≌△DCB； （2）△ACM≌△DCN； （3）MN∥AB． 2. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明： （1）AD＝BE； （2）填空∠AOE＝____________°； （3）CP＝CQ； 3. 如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N． （1）求证：AE＝BD； （2）连接MN，求证：MN∥BE； （3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 4. 已知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，连接GH． （1）求证：AE＝CD； （2）求证：AG＝CH； （3）求证：GH∥AD． 5. 如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（　　） ①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC． A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 五．综合运用 1. 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论． 2. 如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）