2024年九年级中考数学最值和路径专题练习--垂线段最短模型

垂线段最短模型 一、模型介绍 (一)基本模型 已知: 点P是直线l外一点, PH⊥l, 垂足为点H, 点A, B,C在直线l上,比较线段PH, PA, PB, PC的长短. 结论： PH 最短，即直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短. (二) 结论推导 垂线段最短是基本事实，不需要证明. (三) 满分策略 在垂线段最短模型中，确定动点的直线轨迹是解决问题的关键，确定动点的运动轨迹为直线的方法有：①动点到定直线的距离不变； ②动点与定线段的一个端点连接后的夹角不变； ③动点的坐标以某个字母的代数式表示；且可以化为一次函数； ④动点在直线上运动从而带动另一个点位似变换(见模型25 主从联动模型) 二、典型例题 例1 如图,∠MON=45°, OP平分∠MON,点A 为射线OM上一点, OA=4, 点E, F 分别为射线 OP,OM上的动点, 连接AE, EF, 则AE+EF的最小值为 . 考点分析：全等三角形的判定与性质、垂线段最短. 思路点拨: 在 ON上截取OG=OF, 连接EG,过点A作AH⊥ON于点H, 将AE+EF的最小值转化为垂线段AH的长. 例2如图, 在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°, AB=6, 点D 是BC边上一动点, 过点D作 DE⊥AD,交AB于点E, 则线段AE长度的最小值为 . 考点分析：直角三角形的性质、垂线段最短. 思路点拨: 取AE的中点F,连接DF,过点F作 FG⊥BC于点G,由垂线段最短可知DF≥FG,当DF⊥BC时DF 最小, AE最小. 例3如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F，将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 . 考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、垂线段最短、勾股定理. 思路点拨: 设 BF与AC交于点 G,过点 C作 CH⊥BF于点 H,证△ACE≌△BCD,△AFG∽△BCG,显然,当∠DBC最大时, AG最小, BG最大, AF最小. 当 CD⊥BD时∠DBC最大,此时△CDF≌△CEF, 可求出EF的长, 从而得到AF的最小值. 三、提分必练 (一) 基础 1. 如图,等边△ABC的边长为4,点D, E分别在边AB, AC上, 将△ADE沿DE折叠,使点A落在 BC边上的点F处，则CE的最大值为 . 2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB=3, BC=5, 点P为BC边上一动点,连接PA,以 PA, PC为邻边作平行四边形 PAQC, 连接PQ, 则 PQ 的最小值为 . 3.如图,在边长为2 的正方形ABCD 中,点E为AD的中点, 将△CDE 沿 CE 翻折得△CME,点M落在四边形ABCE内,点N为线段 CE上的动点, 过点N作NP∥EM交 MC于点P,则 MN+NP的最小值为 . 4. 如图1,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, AC=2, BC=4,点D, E分别是AC, BC的中点,连接DE,将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则 AH 的最大值为 . 5. 如图,在△ABC中, AB=AC,∠BAC=120°,点 D 为BC边上一动点, 连接AD,将线段 AD 绕点 A逆时针旋转120°得到AE, 连接DE交AC于点 F, 求 的最小值. (二) 提升 1. 如图,正方形 ABCD和 Rt△AEF, AB=5,AE=AF=4,连接BF, DE, 将△AEF 绕点A 旋转,当∠ABF 最大时, △ADE的面积为 . 2. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, AC=3, BC=4, 点D为BC上一点, ∠DAC=30°, 点E为射线AD上一点, 以BE, BC为边作平行四边形 BCFE, 连接BF, 则 BF最小值为 . 3. 如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形 ABCD 折叠,使点 B落在 AD 边上点P处, 点C落在Q 处,折痕为EF，则四边形 EFQP 的面积的最小值为 . 4. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8, BC=10, 点D 是斜边 AC的中点, 点E 是AB 边上一动点,将△ADE 沿DE翻折得到△A'DE, A'E交 BC边于点F, 则BF的最大值为 . 5. 如图, 在 Rt△ABC中,. ，点D为AC边上一动点，过点D作 交AB 于点E.当点 D从点 A 运动到点C时，AE的最大值为 ，点E运动的路径长为