2024年中考数学最值和路径专题练习--将军饮马模型

将军饮马模型 一、模型介绍 (一)基本模型 已知： 两定点A， B位于直线l同侧，在直线l上找一点 P， 使PA+PB的值最小. 结论：作点 B 关于直线l的对称点 B'，连接AB'交直线l于点 P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB'的长. (二) 结论推导 结论：作点 B 关于直线 l的对称点 B'，连接. 交直线l于点 P，此时 PA+PB 的值最小，最小值为AB'的长. 证明:由轴对称的性质可知 PB=PB',∴PA+PB=PA+PB'≥AB', ∴当 A,P, B'三点共线时, PB 的值最小，最小值为线段AB'的长. (三) 满分策略 在一条直线的同侧有两个定点，在直线上求一点，与两个定点的距离之和最小，可以考虑用将军饮马模型，先作对称点，再连接另一点与直线相交，根据“两点之间线段最短”可知交点即为所求的点；如果是求距离之差的绝对值的最大值，则直接连接这两点并延长，与直线相交，交点即为所求的点；如果两个定点在直线异侧，求距离之差的绝对值的最大值时，应先作对称点，再连接另一点与直线相交，交点即为所求的点. 二、典型例题 例1 如图，等边△ABC的边长为4，AD 是BC边上的中线，点E是AD上的动点，点F是AC上的动点，则CE+EF的最小值是 . 考点分析：等边三角形的性质、轴对称、勾股定理. 思路点拨: 作点F关于AD的对称点F', 连接 CF', EF', 将CE+EF转化为CE+EF', 根据垂线段最短可知, 当CF⊥AB时CE+EF'的值最小. 例2如图,正方形ABCD 的对角线交于点 O, 点 E是 BC上一动点.若 AB=4,则AE+OE的最小值是( ). A. 4 考点分析：正方形的性质的性质、轴对称、勾股定理. 思路点拨: 作点A 关于BC的对称点A,连接OA'交 BC于点E, 将AE+OE转化为A'E+OE, 根据两点之间线段最短可知，A'E+OE的最小值就是线段OA'的长，用勾股定理求出即可. 例3如图,在等边△ABC中, AB=10,点E为高AD上的一动点,以BE为边向下作等边△BEF, 连接DF, 则BF+DF的最小值为 . 考点分析：正方形的性质的性质、轴对称、勾股定理. 思路点拨: 作点A 关于BC的对称点A,连接OA'交 BC于点E, 将AE+OE转化为A'E+OE, 根据两点之间线段最短可知，A'E+OE的最小值就是线段OA'的长，用勾股定理求出即可. 例4如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点P 是y轴上一动点，将线段PA绕点 P逆时针旋转 得到PB, 连接BO, BA, 则BO+BA的最小值为 . 考点分析：全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理. 思路点拨：过点B作y轴的垂线，根据一线三等角证明三角形全等，说明点P在一条固定的直线上运动，将BO+BA转化，根据两点之间线段最短可知BO+BA的最小值为一条线段的长，根据勾股定理求出这条线段的长即可. 三、提分必练 (一) 基础 1. 如图,∠MON=30°,点A 为射线 OM上一点, OA=6, 点 P, Q 分别为射线 ON, OM上的动点,连接AP, PQ, 则AP+PQ的最小值为 . 2.如图,矩形ABCD 中,AB=6, AD=4,点E, F 分别是AB, DC上的动点, EF∥BC,则AF+CE的最小值是 . 3. 如图, 直线y=2x+4与x轴、y轴交于点A, B,点 M, N分别是AB, OA的中点,点P是y轴上的一个动点，当PM+PN的值最小时，点P的坐标为 . 4. 如图, 在矩形ABCD中, , 点 E 是 CD 边上一动点, 点 F 是矩形内一动点,∠DCF=∠CBF, 则AE+EF的最小值为 . (二) 提升 1.如图,点 P 为矩形ABCD 的对角线AC上一动点, 点E为BC的中点,连接 PB, PE,若 则.PB+PE的最小值为 . 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A(- , 0), B(0, 1),C(0, 3), 将线段AB 沿x轴平移得到A'B',连接A'C, B'C, 则 的最小值为 . 3. 如图,正方形ABCD 的边长为2,点E, F分别在边 BC, AD 上, 连接EF, 将四边形 ABEF沿EF折叠,点B 的对应点 G 恰好落在 CD边上, 点A的对应点为H, 连接 BH, 则 B F的最小值是 . 4. 如图，一次函数y=kx+4的图象与x轴、y轴分别交于A，B 两点，将线段BA绕点 B 逆时针旋转( 得到BC，当C在第一象限落在直线 上时，在x轴上求一点