2024年中考数学几何模型演练---相似模型

2024年中考数学几何模型演练---相似模型 知识导航 1. A 字型与8 字型 (1)“A”字型 在△ABC 中,若 DE∥BC,则△ADE∽ (2)“8”字型 若ED∥BC,则.△ABC∽△ADE,AB= 引例1(2022·镇江)如图,点 A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD 与 BC 相交于点O，小正方形的边长为1，则 AO 的长等于( ) A.2 B. 解析 连 接 AB、CD,则△AOB∽△DOC, ∴选 A. 引例2(2023·安徽)如图,点 E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,EF⊥AB 于点 F,连接DE 并延长,交边 BC 于点 M,交边 AB 的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则 MG= ( ) 解析 ∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∴EM=DE= ∴选 B. 引例3(2023·成都)如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点，按以下步骤作图： ①以点 A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 AB、AC 于点M、N; ②以点 D 为圆心，以 AM 长为半径作弧，交 DB 于点M'; ③以点 M'为圆心，以 MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点 N'；④过点 N'作射线DN'交 BC 于点 E. 若△BDE 与四边形 ACED 的面积比为4·21,则 的值为 . 解析 由题意得∠A=∠BDE,∴△BDE∽△BAC.∵△BDE 与四边形 ACED 的面积比为 4:21, 2. 反 A 字型 (1)反 A 字型: (共边之积相等) (2) 母 子 型: (平方式，找母子) (3)推论:△ADC∽△AEB. 且∠DAC=∠EAB.) 引例4(2017·西藏)如图,在△ABC 中,D 是 AB 上的一点,∠ACD=∠B,AC=2,AB=4,则AD= . 解 析 由 题 意 可 得 △ADC ∽ △ACB, ,代入得AD=1. 引例5如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P 是AC 上一点,过点 P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长的取值范围是 . 解析 如图，其中有三组始终存在： △CPQ ∽ △CAB, △APQ ∽ △ACB,△APQ∽△ABC. 若△CPQ∽△CBA,则 当点 Q与B 重合时,AP 取到最小值,代入得 CP=1,此时AP=3,∴AP 的取值范围是3≤AP<4. 3. 反 8 字型 (1)反 8 字型: (共边之积相等) (2)推论:△AOD∽△BOC. 证明:∵△AOB∽△DOC, 又∵∠AOD=∠BOC, ∴△AOD∽△BOC. 4. 射影定理 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC交BC 于点D. 引例6(2022· 铜仁)如图,抛物线. 与x 轴交于A、B 两点,与y 轴交于点C.若∠OAC=∠OCB,则 ac的值为( ) A. -1 B. -2 解 析 ∵ ∠OAC = ∠OCB, CO ⊥ AB, 即 ∴选 A. 5.三角形内接矩形 如图,在△ABC 中,D、E 在边 BC 上,G、F 分别是 AB、AC 上的点,且四边形DEFG 是矩形.作 AN⊥BC 分别交 GF、DE于点M、N. 则有 特别地，若矩形 DEFG 是正方形，记边长为d，则 即 整理可得： 引例7(2022·东营)如图,在△ABC 中,点 F、G 在 BC 上,点 E、H 分别在 AB、AC 上,四边 形 EFGH 是矩形,EH = 2EF,AD 是△ABC 的高,BC=8,AD=6,那么 EH 的长为 解析 设 EF=x,则 EH=2x,记 AD 与EH交 点 为 M, 由 题 意 得 △AEH ∽△ABC, 代入得 解得 即 ∴EH的长为 6.三平行模型 如图,AB∥CD∥EF,记AB=a,CD=b,EF=c. 结论： 证明:EF∥AB→△DEF∽△DAB→ 引例8 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,连接 AC、BD 交于点O,过点 O 作 EF∥AD 分别交 AB、CD 于点 E、F,若 AD=m,BC=n,则EF 的长是 . 解析 由题意得 7.构造平行线与梅涅劳斯定理 如图,在△ABC 中,D、E 分别是BC、AC上的点,连接AD、BE 交于点O. 过点 E 作 EP∥AD→△CPE∽△CDA;△BOD∽△BEP; 过点 D 作 DQ∥BE→△CDQ∽△CBE;△AO