北京市第一七一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

2024北京一七一中高二3月月考 数 学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 2．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )。 A． B． C． D． 3．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．72 4．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝sin2x B．y＝x3－x C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x) 5．设函数的导函数为，且，则（ ） A．0 B． C． D．2 6．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若函数 在 内有最小值，则 的取值范围为 A. B. C. D. 8．函数 的图象大致是 A. B. C. D. 9．已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） ①是奇函数； ②在R上是增函数； ③方程有且仅有1个实数根； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．甲、乙等 个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是________．（用数字作答） 12．函数有极值的充要条件是________． 13． 已知函数在处取得极值0，则 14．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数； ②有无数个零点； ③的最小值为； ④的最大值为1. 其中，所有正确结论的序号为____________. 三、解答题(本大题共6个小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值. （I）求实数m的值； （II）求函数f(x)在区间[0,3]的最值． 17.如图，已知四棱锥 的底面 为正方形，，， 分别是 ， 的中点，，． （I）求证：； （II）求二面角 的大小． 18. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上． （I）求 的方程； （II）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，，线段 的中点为 ．证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 19. 已知椭圆经过点 ，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点. (I) 求椭圆的方程； (II) 当直线的斜率为时，求的面积； (III) 在椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （I）若曲线在处的切线斜率为0，求的值； （II）若恒成立，求的取值范围； （III）证明：当时，曲线总在曲线的上方. 21.已知数列，从中选取第项、第项、…、第项（），若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列； （Ⅱ）设数列，，．若数列的长度为的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求的最大值； （Ⅲ）设数列为等比数列，公比为，项数为．判定数列是否存在长度为的递增子列：？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． (草稿纸) 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C B B B A D B 11.96，12.a<0 13, 11 14.{a|a>-1} 15.①②④ 16.解 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞),减区间为(－2,2)． (1)当x＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－＋8＋m＝， ∴m＝4. (2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4， 又当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－. f(0)＝4，f(3)＝1，f(x)有最大值f(0)＝4。 17.