2024年中考数学二次函数中直角三角形的存在性问题

二次函数与直角三角形存在问题 一、知识导航 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线与AB互相垂直，，可得：， 又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为，即坐标为． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 例1．（2022·四川广安如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【练习1】．（2023·广西贵港·模拟）如图，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为3，求点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在轴上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习2】．（2023•金凤区校级二模）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）设点Q是线段AB上的动点，作QM⊥x轴交抛物线于点M，求线段QM长度的最大值； （3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习2】．（2023秋·陕西榆林模拟）如图，抛物线交y轴于点，交x轴于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2022·山东滨州·）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求线段AC的长； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 【练习1】．（2023•营口一模）已知直线l与x轴、y轴分别相交于A（1，0）、B（0，3）两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C． （1）求直线l的函数解析式和抛物线的函数解析式； （2）在第一象限内抛物线上取点M，连接AM、BM，求△AMB面积的最大值及点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【练习2】．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【练习3】．如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）