1.6 课时3 正弦定理的应用 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.6 课时3 正弦定理的应用 【学习目标】 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.(逻辑推理、数学运算) 2.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.± C.- D.± 【答案】　B 【解析】　由S=AB·BCsin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,所以cos∠ABC=±. 2.在△ABC中,若A=60°,b=2,其面积为,则=(　　). A.3 B. C. D. 【答案】　C 【解析】　由S△ABC=bcsin A=,得×2c×sin 60°=,解得c=2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+22-4=4,解得a=2, 由正弦定理得===. 3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于　　　　.   【答案】　 【解析】　由三角形内角和定理得A=75°.由三角形的边角关系得角B所对的边b为最短边.由正弦定理=得b===. 4.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的面积为　　　　.  【答案】　 【解析】　△ABC的外接圆直径2R===.故半径R=,即外接圆的面积为. 【合作探究】 探究1 扩充的正弦定理　 问题1:任意三角形都有外接圆吗?外接圆的半径与正弦定理的比值有关系吗? 【答案】　都有外接圆.有关系. 问题2:教材中是如何推导外接圆的半径与正弦定理的比值关系的?它们的关系是什么? 【答案】　教材中分了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情形来探究,它们的关系是===2R(R为外接圆的半径). 新知生成 扩充的正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值为一个常数,这个常数等于该三角形外接圆的直径,即===2R(R为外接圆的半径). 新知运用 例1　在△ABC中,AB=,BC=,CA=2,则△ABC外接圆的面积为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 方法指导　首先根据余弦定理求cos B,再求sin B,再根据正弦定理求△ABC外接圆的半径,即可求得圆的面积. 【答案】　C 【解析】　由余弦定理可知cos B===, 所以sin B==, 由正弦定理得===2R,即R=, 所以△ABC外接圆的面积S=πR2=. 【方法总结】　　求三角形外接圆的面积的基本思路是求三角形外接圆的半径.三角形各边与它所对角的正弦值的比值为一个常数,这个常数等于该三角形的外接圆的直径. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积S满足2S=a2+b2-20,c=2,则△ABC的外接圆的周长等于(　　). A.5π B.2π C.2π D.2π 【答案】　A 【解析】　因为c2=20,所以2S=a2+b2-20=a2+b2-c2. 又S=absin C,所以a2+b2-c2=absin C. 由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,所以absin C=2abcos C,显然cos C≠0,所以=2,即tan C=2,所以sin C=,所以△ABC的外接圆半径R==,则外接圆的周长为2πR=5π. 探究2　正弦定理的变形及应用 问题1:在△ABC中,sin A=sin B,则A=B成立吗? 【答案】　成立,由于在△ABC中,sin A=sin B,有a=b,则A=B. 问题2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c成立吗? 【答案】　成立,由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c正确. 问题3:在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B?反之,是否成立? 【答案】　∵A>B,∴a>b.又∵=,∴sin A>sin B. 反之,若sin A>sin B,则a>b,即A>B.故A>B⇔sin A>sin B. 新知生成 正弦定理的常见变形: (1)(边化角)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)(角化边)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. 新知运用 例2　△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C,则该三角形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】　A 【解析】　因为bsin B=csi