专题02 解三角形（期中复习讲义，8考点5重难题型+分层验收）高一数学下学期湘教版必修第二册

专题02 解三角形 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正弦定理和余弦定理的应用 题型02 三角形面积公式的应用 题型03 解三角形中的边角互化 题型04 解三角形的实际应用（测量问题） 题型05 解三角形与三角恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理 熟练掌握正弦定理公式，能用于求边长、角、判断三角形形状 必考基础，选择、填空、解答题均会出现，侧重公式直接应用 余弦定理 掌握余弦定理公式及变形，能求边长、角、判断三角形形状，处理已知两边及夹角问题 高频考点，解答题核心，常与面积公式、恒等变换结合考查 三角形面积公式 熟练掌握多种面积公式，能根据已知条件灵活选择，结合正、余弦定理求解面积 必考考点，小题、解答题均有涉及，常作为解答题中间步骤或设问 边角互化技巧 掌握“边化角”“角化边”的适用场景，能快速转化条件，简化求解过程 中档考点，易错点集中，是解决复杂解三角形问题的核心技巧 解三角形实际应用 能将实际测量问题转化为解三角形问题，掌握仰角、俯角、方位角等概念 中档应用题，偶尔考查，侧重建模能力与公式应用结合 综合应用（与恒等变换结合） 能结合三角恒等变换化简条件，综合运用正、余弦定理求解复杂问题 压轴小问，拉分题集中区，侧重综合分析与应用能力 知识点01 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 知识点03 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点04 解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点05 正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点06 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 知识点07 三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形：勾股定理：，互余关系：，，； （2）等腰三角形：，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识点08 解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 题型一 正弦定理和余弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 1. 已知两角及一边（AAS、ASA）：直接用正弦定理求另外两边，注意内角和为π求第三角； 2. 已知两边及其中一边的对角（SSA）：先判断解的个数，再用正弦定理求角，最后求第三边； 3. 边角互化：齐次式优先边化角或角化边，结合内角和条件化简，简化计算； 4. 比例关系：利用快速转化边角比例。 【典例1】(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)在中，，，则（       ） A．1 B． C． D． 【典例2】(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)在中，若，则是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)在中，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式4】在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 题型二 三角形面积公式的应用 解｜题｜技｜巧 1. 已知两边及夹角：直接用（最便捷）； 2. 已知两角及一边：先由正弦定理求另一边，再用基础面积公式； 3. 已知三边：先由余弦定理求任意一角的正弦值，再用基础面积公式； 4. 面积最值问题：结合基本不等式或三角函数最值，由边角关系求面积最大值。 【典例1】(24-25高一下·山东名校联盟·)在中，已知，则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【典例2】（多选）如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）   A．是等边三角形 B．若，则四点共圆 C．四边形面积最大值为 D．四边形面积最小值为 【变式1】(24-25高一下·湖南·期中)在中，，设，若，且，则的面积为________． 【变式2】记的内角的对边分别为，若，则的面积为_____. 【变式3】(20-21高二上·贵州思南中学·期中)在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【变式4】(24-25高一下·河南新未来·)已知的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求. 【变式5】(24-25高二上·贵州遵义·月考)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 题型三 解三角形中的边角互化 解｜题｜技｜巧 1. 边化角：当式子含a、b、c的齐次式（如），或已知角的三角函数值，优先将边化为角（），结合内角和化简； 2. 角化边：当式子含、的齐次式，或已知边的关系，优先将角化为边（），转化为代数运算； 3. 关键技巧：齐次式可同时除以或乘以相同的边（或正弦值），消去多余项，简化式子； 4. 结合隐含条件：边角互化后，利用化简，转化为单一角的三角函数。 【典例1】(24-25高一下·陕西部分学校·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】(23-24高一下·江苏淮安淮安区·期中)在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式1】(21-22高一下·黑龙江哈尔滨六校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（    ） A． B． C． D．或 【变式2】(24-25高一下·湖南·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3】(23-24高一下·湖南名校联考联合体·期中)设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高一·江西赣州六校联盟·)在中，角的对边分别是．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高一下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·月考)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 题型四 解三角形的实际应用（测量问题） 解｜题｜技｜巧 1. 建模关键：将实际问题中的距离、角度转化为三角形的边和角，画出示意图，标注已知条件； 2. 术语辨析：明确仰角、俯角、方位角的定义，准确转化为三角形的内角； 3. 公式选择：根据已知条件（两角一边、两边夹角等），选择正、余弦定理或面积公式求解； 4. 检验结果：结合实际意义，判断结果是否合理（如距离为正、角度在合理范围）。 【典例1】(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里 【典例2】(23-24高一下·河北邢台信都区邢台第一中学·期末)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 【变式1】(21-22高一下·广东深圳龙岗区龙城高级中学·期中)海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【变式2】(24-25高一下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（    ）（）   A．8米 B．9米 C．40米 D．45米 【变式4】(21-22高一下·山东济宁泗水县·期中)如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于_________. 【变式5】(20-21高一下·吉林梅河口第五中学·期末)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 题型五 解三角形与三角恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 化简先行：先利用三角恒等变换（两角和差、二倍角、辅助角公式）化简已知条件，转化为单一角的三角函数或简单的边角关系； 2. 边角转化：将化简后的条件，结合正、余弦定理进行边化角或角化边，统一为边或角的关系式； 3. 分步求解：先求角的大小或边的关系，再结合面积公式、最值条件求解最终问题； 4. 最值问题：利用三角函数的有界性（）或基本不等式，求面积、边长的最值。 【典例1】(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 【典例2】(23-24高一下·贵州学校卓越联盟发展计划项目·期中)已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(22-23高一下·江苏徐州·期中)已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·湖南永州·期中)在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____. 【变式4】在中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，且当时，取得最大值，试求的值． 【变式5】(23-24高一下·湖南慈利县第一中学·月考)如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.   (1)求； (2)当点为中点时，求：的余弦值； (3)当取得最小值时，设，求的值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·月考)在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)的内角的对边分别为，若，，，则___________． 3．已知某三角形的三边长分别为4、5、6，则该三角形最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·河北沧州三县学校联考·月考)在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（    ） A． B． C． D． 6．△ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 7．在中，，，. (1)求的面积； (2)求c及的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形为锐角三角形 2．(24-25高一下·陕西部分学校·期中)（多选）的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)（多选）在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等边三角形 4．(20-21高一下·辽宁辽河油田第一高级中学·期中)（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为 5．(24-25高一下·河南驻马店·期中)在中，，为的中点． (1)求； (2)若，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下·河北级示范性高中联合测评·月考)在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 2.(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·江苏常州·期中)在中，，，，若为中点，则长为________. 4．(20-21高一下·黑龙江双鸭山第一中学·期末)设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（  ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 6．(23-24高一下·山西大同·期中)（多选）如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（    ） A． B．当时， C．面积的最大值为 D．游览路线最长为 7．(22-23高一下·重庆育才中学校·期中)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求A； (2)设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正弦定理和余弦定理的应用 题型02 三角形面积公式的应用 题型03 解三角形中的边角互化 题型04 解三角形的实际应用（测量问题） 题型05 解三角形与三角恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理 熟练掌握正弦定理公式，能用于求边长、角、判断三角形形状 必考基础，选择、填空、解答题均会出现，侧重公式直接应用 余弦定理 掌握余弦定理公式及变形，能求边长、角、判断三角形形状，处理已知两边及夹角问题 高频考点，解答题核心，常与面积公式、恒等变换结合考查 三角形面积公式 熟练掌握多种面积公式，能根据已知条件灵活选择，结合正、余弦定理求解面积 必考考点，小题、解答题均有涉及，常作为解答题中间步骤或设问 边角互化技巧 掌握“边化角”“角化边”的适用场景，能快速转化条件，简化求解过程 中档考点，易错点集中，是解决复杂解三角形问题的核心技巧 解三角形实际应用 能将实际测量问题转化为解三角形问题，掌握仰角、俯角、方位角等概念 中档应用题，偶尔考查，侧重建模能力与公式应用结合 综合应用（与恒等变换结合） 能结合三角恒等变换化简条件，综合运用正、余弦定理求解复杂问题 压轴小问，拉分题集中区，侧重综合分析与应用能力 知识点01 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 知识点03 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点04 解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点05 正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点06 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 知识点07 三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形：勾股定理：，互余关系：，，； （2）等腰三角形：，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识点08 解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 题型一 正弦定理和余弦定理的应用 解｜题｜技｜巧 1. 已知两角及一边（AAS、ASA）：直接用正弦定理求另外两边，注意内角和为π求第三角； 2. 已知两边及其中一边的对角（SSA）：先判断解的个数，再用正弦定理求角，最后求第三边； 3. 边角互化：齐次式优先边化角或角化边，结合内角和条件化简，简化计算； 4. 比例关系：利用快速转化边角比例。 【典例1】(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)在中，，，则（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，设所对的边为，，，由余弦定理，得，即，解得，所以.故选：C 【典例2】(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)在中，若，则是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得，即，所以，又因为，所以角，所以，故或.故选：C 【变式1】(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则，所以外接圆半径，故圆的面积为.故选：D 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)在中，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】在中，若，，，由正弦定理得，所以，解得，又且，，或．故选：D. 【变式3】已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；由，由正弦定理得，所以；则“”是“”的充要条件.故选：C. 【变式4】在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴．又， ，又，∴．故选A． 【变式5】(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 【答案】/ 【详解】依据正弦定理，由，得，两边同乘，得，解得，又因为，所以．故答案为：. 题型二 三角形面积公式的应用 解｜题｜技｜巧 1. 已知两边及夹角：直接用（最便捷）； 2. 已知两角及一边：先由正弦定理求另一边，再用基础面积公式； 3. 已知三边：先由余弦定理求任意一角的正弦值，再用基础面积公式； 4. 面积最值问题：结合基本不等式或三角函数最值，由边角关系求面积最大值。 【典例1】(24-25高一下·山东名校联盟·)在中，已知，则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】.故选：A. 【典例2】（多选）如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）   A．是等边三角形 B．若，则四点共圆 C．四边形面积最大值为 D．四边形面积最小值为 【答案】AC 【详解】由正弦定理，得， ，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B不正确. 对于C、D，设，则，，，，，， ，，∴C正确，D不正确；故选：AC. 【变式1】(24-25高一下·湖南·期中)在中，，设，若，且，则的面积为________． 【答案】 【详解】设，则，在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即，则，即，整理得，解得，由θ为锐角，得，即，因此，，，所以. 法二：过B作的平分线交AC于M，设，则，由，，得，，在中，由角平分线性质知，即，整理可得，则，，即为等边三角形，且D是AM的中点，而，因此，，所以．故答案为： 【变式2】记的内角的对边分别为，若，则的面积为_____. 【答案】/ 【详解】由余弦定理得，得，所以. 故答案为： 【变式3】(20-21高二上·贵州思南中学·期中)在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【详解】（1）,由正弦定理得 ∴，， 在中，,可得，又∴ （2）∵，其中，，∴， 所以. 【变式4】(24-25高一下·河南新未来·)已知的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 则，即，又在中，由，故. 因为，所以. （2）因为的面积为，所以，得. 又由，有，则，可得， 由余弦定理得，则，可得. 【变式5】(24-25高二上·贵州遵义·月考)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 题型三 解三角形中的边角互化 解｜题｜技｜巧 1. 边化角：当式子含a、b、c的齐次式（如），或已知角的三角函数值，优先将边化为角（），结合内角和化简； 2. 角化边：当式子含、的齐次式，或已知边的关系，优先将角化为边（），转化为代数运算； 3. 关键技巧：齐次式可同时除以或乘以相同的边（或正弦值），消去多余项，简化式子； 4. 结合隐含条件：边角互化后，利用化简，转化为单一角的三角函数。 【典例1】(24-25高一下·陕西部分学校·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理角化边结合已知得，设，则，解得，所以由余弦定理及其推论可得，．故选C. 【典例2】(23-24高一下·江苏淮安淮安区·期中)在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以，且，所以由余弦定理得，整理得，又，所以，故是等边三角形.故选：B. 【变式1】(21-22高一下·黑龙江哈尔滨六校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，又因为，所以．故选：B． 【变式2】(24-25高一下·湖南·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】移项得，可化为， 展开得，整理得，又，所以，即，则为直角三角形.故选：B． 【变式3】(23-24高一下·湖南名校联考联合体·期中)设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由正弦定理，得， 或.又.故选：B. 【变式4】(22-23高一·江西赣州六校联盟·)在中，角的对边分别是．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由正弦定理得，故，又，，故，，所以．又，设，则，解得或（舍去）．故选：D． 【变式5】(24-25高一下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·月考)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【详解】（1），由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，，又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ，又， 显然，即，解得. 题型四 解三角形的实际应用（测量问题） 解｜题｜技｜巧 1. 建模关键：将实际问题中的距离、角度转化为三角形的边和角，画出示意图，标注已知条件； 2. 术语辨析：明确仰角、俯角、方位角的定义，准确转化为三角形的内角； 3. 公式选择：根据已知条件（两角一边、两边夹角等），选择正、余弦定理或面积公式求解； 4. 检验结果：结合实际意义，判断结果是否合理（如距离为正、角度在合理范围）。 【典例1】(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里 【答案】B 【详解】由题意，画出示意图如下，由余弦定理得 ,.所以，则乙船航行的距离为海里.故选B. 【典例2】(23-24高一下·河北邢台信都区邢台第一中学·期末)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 【答案】C 【详解】在中，在中，在中．故选C 【变式1】(21-22高一下·广东深圳龙岗区龙城高级中学·期中)海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【详解】如图所示，，，   在中，，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 灯塔与处之间的距离为海里.故选：C 【变式2】(24-25高一下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】设，则可得，由B是AC的中点，所以， 而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B. 【变式3】如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（    ）（）   A．8米 B．9米 C．40米 D．45米 【答案】D 【详解】由题意，设，由，可得，因为且，直角中，可得，解得，所以.故选：D. 【变式4】(21-22高一下·山东济宁泗水县·期中)如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于_________. 【答案】300米 【详解】解：在中，，所以米，在中，，则，由正弦定理得，，所以米，在中，米，，所以米，故答案为：米 【变式5】(20-21高一下·吉林梅河口第五中学·期末)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 【详解】（1）连接，由题意可得，，， 因为，，故为等边三角形， 所以，，在中，，，， 由余弦定理可得，故， 所以乙船的速度为（海里/小时）； （2）分别延长、交于点，由（1）得，所以. 故，则，所以. 则在中，，， 由正弦定理可得，故，因为，， 所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时. 题型五 解三角形与三角恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 化简先行：先利用三角恒等变换（两角和差、二倍角、辅助角公式）化简已知条件，转化为单一角的三角函数或简单的边角关系； 2. 边角转化：将化简后的条件，结合正、余弦定理进行边化角或角化边，统一为边或角的关系式； 3. 分步求解：先求角的大小或边的关系，再结合面积公式、最值条件求解最终问题； 4. 最值问题：利用三角函数的有界性（）或基本不等式，求面积、边长的最值。 【典例1】(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理：，所以为锐角且，所以． 故选：A. 【典例2】(23-24高一下·贵州学校卓越联盟发展计划项目·期中)已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得，且，则，可得，且，则，又因为，则，可得，则，因为，则，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为.故选：C． 【变式1】(22-23高一下·江苏徐州·期中)已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由边化角可得，.因为，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，，由可得，.因为， 又，所以，，所以，.故选：C. 【变式2】在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，即， 令，，，显然，∵，∴，解得，∴，B＝．故选：D. 【变式3】(24-25高一下·湖南永州·期中)在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____. 【答案】/ 【详解】因为，所以，，又，，所以，解得，所以，，所以，则．故答案为 【变式4】在中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，且当时，取得最大值，试求的值． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由已知得 ，即， 又因为，所以． （2） ． 当（），即（）时，． 又因为，所以，， 故，，， 所以． 【变式5】(23-24高一下·湖南慈利县第一中学·月考)如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.   (1)求； (2)当点为中点时，求：的余弦值； (3)当取得最小值时，设，求的值. 【详解】（1），由余弦定理知： ， . （2）设，分别为的中点，， ，， ， 又. . （3）设， 当即时，取最小值，， ，， 三点共线，，. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·月考)在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得，又，，，所以，所以， 又，所以，所以，故选：A. 2．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)的内角的对边分别为，若，，，则___________． 【答案】 【详解】由正弦定理得：，又，所以. 故答案为： 3．已知某三角形的三边长分别为4、5、6，则该三角形最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由大边对大角，可知边长为6所对应的角为最大内角，设为，则. 故选：B 4．(24-25高一下·河北沧州三县学校联考·月考)在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【答案】B 【详解】由余弦定理，得，即，即， 解得或5，经检验，均满足题意.故选：B. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，角，，所对的边分别是，，．若，，， 利用正弦定理：，整理得：．故选：D． 6．△ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【详解】由正弦定理得 可化为 化简得到，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 . 故答案选A. 7．在中，，，. (1)求的面积； (2)求c及的值. 【详解】（1）由且，则， 所以. （2）由，则， 而，则. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形为锐角三角形 【答案】B 【详解】A：由，A错；B：由，则，又，则，B对；C：对于钝角三角形，若，此时，C错；D：由，则，故，所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，D错.故选B 2．(24-25高一下·陕西部分学校·期中)（多选）的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【详解】由满足的有两解，可得，即，即，则符合题意的有BC.故选：BC 3．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)（多选）在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等边三角形 【答案】BCD 【详解】对于A：当时，满足，而此时，故A错误；对于B：因函数在区间上单调递减，故时，有，又因为大边对大角，小边对小角即可得到，故B正确；对于C：因为，所以,即，故，又因为,故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故选项C正确；对于D：因为，所以，即，故，所以,则一定是等边三角形,故选项D正确；选：BCD 4．(20-21高一下·辽宁辽河油田第一高级中学·期中)（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【详解】，A正确；，三角形最大角为锐角，B错误；，故，， 设内切圆半径为，则，故，C正确；，，D正确.故选：ACD. 5．(24-25高一下·河南驻马店·期中)在中，，为的中点． (1)求； (2)若，求的值． 【详解】（1）由，所以，即， 又，故； （2）设，由，可知，又为的中点，所以， 在中，由余弦定理得，，故的值为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下·河北级示范性高中联合测评·月考)在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【详解】，，，化简得，，，即，或，，或，即或，是直角三角形或等腰三角形.故选：D. 2.(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，在中，，则，解得，则.故选：B． 3．(24-25高一下·江苏常州·期中)在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【详解】在中，，，所以，则， 由余弦定理得：，故，由余弦定理得：，若为中点，则在中，， 由余弦定理得：，故. 故答案为：. 4．(20-21高一下·黑龙江双鸭山第一中学·期末)设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由以及正弦定理得，所以，即，又B为钝角，所以，故，，于是，因为，所以，由此，即的取值范围是.故选：A 5．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（  ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 【答案】ABC 【详解】由题意知，整理得，由余弦定理知，，，．对A，， ，，，的取值范围为，故A正确；对B，为边的中点，，则，，当且仅当时，等号成立，，故B正确；对于C，，是锐角三角形，，，，故C正确；对于D，由题意得，即，整理得，即，，当且仅当时，等号成立，故D错误． 故选：ABC. 6．(23-24高一下·山西大同·期中)（多选）如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（    ） A． B．当时， C．面积的最大值为 D．游览路线最长为 【答案】ACD 【详解】在中，由余弦定理得，所以正确； 在中，由正弦定理，得错误； 在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确； 由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD. 7．(22-23高一下·重庆育才中学校·期中)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求A； (2)设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）根据正弦定理可得：， 即， 整理得：，即， 因为为三角形的内角，所以，即. （2）①由知，为AC中点，因为外接圆圆心为，所以， 由（1）知，，由，得， 当时，点与重合，为切点，且，. ②在中，， ， 故， 所以在点D、E的运动过程中，的值为定值，此定值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $