上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性学业水平检测数学试卷

2023学年第二学期阶段性学业水平检测 暨高二年级数学拓展考试3 2024．03．21 时间：120分钟 满分：150分 注：请将试题的解答全部做在答题纸的相应位置，做在试卷上无效 一､填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1. 若，则方程表示的不同双曲线共有__________个． 2. 函数的极值点是__________． 3. 关于的方程的解是__________． 4. 在的展开式中，常数项为__________． 5. 已知是正整数，化简：__________． 6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________． 7. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________ 8. 若，则正整数的个位数为__________． 9. 数列中，，且对任意的正整数都有．若，则正整数__________． 10. 对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是__________． 11. 已知椭圆，上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________． 12. 已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________． 二､选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 13. 中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 48种 D. 24种 14. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A. 48 B. 18 C. 24 D. 36 15. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 16. 已知数列满足，则（ ） A B. C. D. 三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 18. 在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角的大小． 19. 某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关． （1）第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是．记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”． ①求小李通过第一关的概率； ②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率． （2）小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第局成语的概率仍为，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分 2分 4分 7分 11分 若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 20. 设抛物线焦点为为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为． （1）求抛物线的方程； （2）若点的坐标为，求值； （3）设直线与轴分别交于点，求的取值范围． 21. 设函数与的定义域为与分别为函数与的导函数，若存在，满足且，则称函数与为“优美函数”．已知函数与． （1）已知和，求证：和； （2）当时，若函数与为“优美函数”，求的取值范围； （3）当时，已知函数与为“优美函数”，求证：． 2023学年第二学期阶段性学业水平检测 暨高二年级数学拓展考试3 2024．03．21 时间：120分钟