2025届高三数学一轮复习夯实练34：正弦定理和余弦定理

一轮复习夯实34　正弦定理和余弦定理 基础练 1.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,a=,b=,则B的大小为(　　) A. B. C. D. 2.(2024·黑龙江牡丹江模拟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形中的最大角的大小为(　　) A.150° B.135° C.120° D.90° 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan A=,b=2c,S△ABC=2,则a=(　　) A.13 B.2 C.2 D.3 4.(2024·河北石家庄模拟)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin Bcos C,那么△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在△ABC中,∠BAC=,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,△ABD的面积是△ADC面积的3倍,则tan B=(　　) A. B. C. D. 6.(2024·甘肃兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接,不允许折断),则其中某个三角形外接圆的直径2R可以是　　　　(写出一个答案即可).  7.(2021·全国乙,理15,文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  8.(2024·河南五市模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4cos A=sin B+sin C.若△ABC的面积S=,则边a的最小值为　　　　.  9.(2023·全国乙,理18)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 10.(2024·河北邯郸模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=(a2+b2-c2),c=2. (1)若B=,求a; (2)D为AB上一点,从下列条件①、条件②中任选一个作为已知,求线段CD的最大值. 条件①:CD为角C的角平分线; 条件②:CD为边AB上的中线. 提升练 11.在平面四边形ABCD中,AB⊥AC,且AB=AC,AD=CD=2,则BD的最大值为(　　) A.2 B.6 C.2 D.2 12.(2024·江苏七市模拟)如图,在△ABC所在平面内,分别以AB,BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.已知S=,且asin A+csin C=4asin Csin B,则FH=　　　　.  13.(2024·河北张家口模拟)在△ABC中,2cos 2A+8sin2=1. (1)求A; (2)如图,D为平面ABC上△ABC外一点,且CD=1,BD=,若AC=AB,求四边形ABDC面积的最大值. 创新练 14.(2023·全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 15.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　.  参考答案 1.D　解析 由正弦定理可得asin B=bsin Asin B=sin B=,由于B∈(0,π),b>a,所以B= 2.C　解析 由正弦定理,得a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k,所以C最大.由余弦定理,得cos C==-因为0°<C<180°,所以C=120°. 3.C　解析 因为tan A=,A∈(0,π),所以A=,S△ABC=bcsin A=2c·c=2,解得c=2,b=2c=4,由余弦定理,得a2=16+4-2×4×2=12,解得a=2 4.B　解析 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2-a2=bc,则cos A=,因为A∈(0,π),所以A= 又由sin A=2sin Bcos C,得a=2b,化简得b=c.所以△ABC为等边三角形.故选B. 5.A　解析 因为= =3, 即AB=3AC.在△ABC中,作AB边上的高,垂足为H,则tan B= 6(答案不唯一)　解析 4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5,8,9,设边长为9的边所对的角为θ,由余弦定理,得cos θ=,因为θ∈(0,π),所以sin θ=,所以2R=,所以其中某个三角形外接圆的直径2R可以是(答案不唯一). 7.2　解析 由题意可