抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 目录 一、概念: 1、周期函数的定义： 2、奇偶函数： 3、函数的对称性： 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） （三）抽象函数的对称性与周期性 三、函数周期性的几个重要结论 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。把个单位即按向量在其他周期的图像：。 2、奇偶函数： 设 ①若 ②若。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点 ② ③ ④ ⑤ （2）轴对称：对称轴方程为：。 ①关于直线 ②函数关于直线 成轴对称。 ③关于直线 成轴对称。 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性； 若，则具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、 图象关于直线对称 推论1： 的图象关于直线对称 推论2、 的图象关于直线对称 推论3、 的图象关于直线对称 2、 的图象关于点对称 推论1、 的图象关于点对称 推论2、 的图象关于点对称 推论3、 的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数与图象关于y轴对称 2、奇函数与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、互为反函数与函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与 图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1） f(a＋x)＝－f(a－x) （2） f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的奇偶性 定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]， 则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]， 则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x) （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称） 3、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝