2024年中考数学几何模型演练---三垂直模型讲义

2024年中考数学几何模型演练---三垂直模型 1. 模型认识 △ABC是等腰直角三角形，一条直线过点 C，分别过 A、B 向该直线作垂线，垂足分别为 D、E.则△ADC≌△CEB. 辅助线：等腰、直角→作垂直 (1)如果没有等腰? 作垂线，可得三垂直相似. 如图1,有△ADC∽△CEB. 特别地,若 C 为 DE 的中点,如图 2,则△ADC∽△CEB∽△ACB. (2)如果没有直角? 直角的作用在于它们都相等，将直角换成其他等角，即为“一线三等角”模型. 引例1(2022·海南)如图,点 A(0,3)、B(1,0),将线段 AB 平移得到线段 DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点 D 的坐标是( ) A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) D.(6,5) 解析 如图,过点 D 作 DH⊥y轴交 y轴于点H,则 ∴DH=2AO=6,AH=2OB=2,∴点D 的坐标 为(6,5). 引例2(2018·遵义)如图,在菱形 ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点 A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与 B、D 重合),折痕为 EF,若 DG=2,BG=6,则 BE 的长为 解析 如图,由题意可得∠FDG=∠FGE=∠GBE= 60°,∴△FGD∽△GEB,∴DG= 即BE 的长为 . 2. 模型构造 在什么条件下考虑构造三垂直? 无论是全等还是相似，首先要存在直角三角形. 引例3 (2022·东营)如图,△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 B在反比例函数 的图像上，则经过点 A 的函数图像表达式为 . 解析 如图，分别过 A、B 作x轴的垂线，垂足分别为 C、D,则△ACO≌△ODB,∴AC=OD,OC=BD,设点 B 的坐标为 则点A 的坐标为 经过点A 的函数图像表达式为 引例4如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=2x-1 的图像分别交x轴、y 轴于点A、B,将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交 x轴于点C，则直线 BC 的函数表达式是 . 解析 如图,过点 A 作 AD⊥AB 交 BC 于点D,过点 D 作 DE⊥x轴交 x 轴于点 E,则△AOB≌△DEA,由题意得 A( ,0),B(0, ∴点 D的坐标为 ∴直线 BC 的函数表达式为 引例5(2022·苏州)如图,点 A 的坐标为(0,2),点 B 是 x轴正半轴上的一点,将线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转60°得到线段 AC.若点C 的坐标为(m,3),则m 的值为 ( ) 法 1:如图 1,取 AC 的中点 M,过点 M 作PQ⊥x 轴交 x 轴于点 Q,过点 C 作 PQ 的垂线，垂足为 P，则△CPM∽△MQB, 法 2:如图 2,作射线 AP,使得∠OAP =60°,且 AP=OA,连接CP,过点 P 作 NM⊥y轴于点M，过点C 作MN 的垂线，垂足为 N，则△AOB≌△APC,AM=1,MP= ,CN=2,由△AMP∽△PNC,得 代入得 观察发现 当遇到等腰直角三角形或直角三角形时，可构造三垂直全等或相似，当图形中存在特殊角时，可构造包含特殊角的直角三角形，再构造三垂直模型. 3. 模型应用 引例6(2023·新疆)【建立模型】(1)如图1,点 B 是线段CD 上的一点,AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥BD,垂足分别为 C、B、D,AB=BE.求证:△ACB≌△BDE; 【类比迁移】(2)如图 2,一次函数 y=3x+3 的图像与 y 轴交于点A、与 x 轴交于点 B，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到 BC,直线AC交x轴于点D. ①求点 C 的坐标; ②求直线 AC 的函数表达式； 【拓展延伸】(3)如图 3，抛物线 3x-4 与x轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y轴交于点C,已知点 Q(0,-1),连接 BQ, 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 M, 使 得 若存在，求出点 M 的横坐标. 解析 (1)∵AC⊥BC,∴∠ACB = 90°,∴∠A + ∠ABC = 90°. ∵ AB ⊥ BE,∴∠ABE = 90°,∴∠DBE + ∠ABC = 90°,∴∠A = ∠DBE.∴△ABE≌△BDE (2)①如图 1,过点 C 作 CH⊥BD 交 BD于点 H,由(1)得△AOB≌△BHC,由题意得点B 的坐标为(-1,0),点 A 的坐标为(0,3),∴BH=AO=3,CH=BO=1,∴点C 的坐标为(-4,1). ②设直线 AC 的函数表达式为y=kx+b,将(-4,1)、(0,3)代入,得