2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题

2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题 2024年3月30日 本次考试共五道解答题，每题20分，共计100分；考试时间是8:30-10:10，共100分钟。 1、 是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数。求的概率. 2、 ，求所有的，使得中有无穷多项为正整数. 3、 求所有的，使对恒成立. 4、 是2024次多项式，，求. 5、 ，求的值. 2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题解答 1、 解：若中含9，则。 有，则； 在中无9的情况下： 此时， 所以， 2、 解：由题可知， 若，则，即； 若，则，即； ①当时，可用数学归纳法证， 若，则， 则数列递减，不存在无穷多项为正整数. ②当时，同①可用数学归纳法证：且递增. 则不存在无穷多项为正整数. ③当时，，同②可用数学归纳法证：且递增， 则不存在无穷多项为正整数. ④当时， 为常数列，符合要求. 综上，时，存在无穷多项为正整数. 三、解：①有零点，则. 若时，有， 则在时矛盾，舍弃. ②不存在零点，则 只须 同时满足 综上，为所求. 四、解：若为的一个复数根， 则，即也为一个复数根, 那么均为根. 若，则均不同，则有无穷根，矛盾. 由 故也未一个根 所以. 令，则有 则仅有一个解. 综上，. 五、解：令. 有 柯西不等式： 相加 ①（一个圆盘） 同时， ②（一个圆环） 联立①②，解得： 所以。 学科网（北京）股份有限公司 $$