精品解析：湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题

长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 四个数，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆与双曲线有相同焦点，则的值为（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 5. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在第19届杭州亚运会期间，某项目有四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为（ ） A 80 B. 120 C. 160 D. 60 7. 若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 阿基米德在他著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对部分给分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A. 直方图中 B. 此次比赛得分及格的共有60人 C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D. 这100名参赛者得分的第80百分位数为75 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____． 13. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________． 14. 如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有__________条.（用数字作答） 四、解答题：本大题共8小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 16. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，对任意的，恒有，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若，证明：当时，； （3）若在有两个零点，求a的取值范围. 19. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于. （1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点； （2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【