微专题2必要性探路-突破函数与导数系列2024届高三数学二轮复习

2024届高三二轮复习微专题系列 突破函数与导数系列——微专题2　必要性探路 1.必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法. 2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低思维难度. 考点1　取点探路 例1 (2023·烟台模拟节选)已知f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥1)，若f(x)≥ln 2恒成立，求实数a的取值范围. 解　必要性：对于x≥1，f(x)≥ln 2恒成立， 即ln(ax＋1)＋－ln 2≥0在(1，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝ln(ax＋1)＋－ln 2， 所以g(1)＝ln(a＋1)－ln 2≥0，解得a≥1. 充分性：当a≥1时， g(x)≥ln＋－1(x≥1). 令t＝≥1， 则令h(t)＝ln t＋－1(t≥1)， 所以h′(t)＝－＝(t≥1)， 则h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)≥h(1)＝0， 所以g(x)≥0恒成立， 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞). [技法总结]　已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1，对数函数常取1或e等. 训练1 已知f(x)＝ax2－4ln(x－1)，对x∈[2，e＋1]，f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围. 解　必要性：因为对x∈[2，e＋1]，f(x)≤1恒成立. 即ax2－4ln(x－1)－1≤0， 令g(x)＝ax2－4ln(x－1)－1， 则g(2)＝4a－1≤0，则a≤. 充分性：当a≤时，g(x)＝ax2－4ln(x－1)－1≤x2－4ln(x－1)－1， 根据ln x≥1－(证明略)，在x∈[2，e＋1]上， 有x2－4ln(x－1)－1≤x2－4－1＝≤0， 所以g(x)≤0，即f(x)≤1， 故a的取值范围是. 考点2　极值点探路 例2 (2023·济南模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ae2(x－1)＋1，a≥0. (1)当a＝1时，求f(x)在(0，＋∞)上的零点个数； (2)若关于x的不等式ln－ae2(x－1)≤x－a2e(x－1)－在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋1－e2(x－1). 当x∈(0，1)时，f(x)＝ln(x＋1)＋1－e2(x－1)>1－e2(x－1)>1－1＝0，此时无零点. 当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＝－2e2(x－1)， 当x∈[1，＋∞)时，f′(x)单调递减， 且f′(x)<f′(1)＝－2<0， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减， f(1)＝ln 2＋1－1＝ln 2>0， f(2)＝ln 3＋1－e2<0， ∃x0∈(1，2)，使f(x0)＝0. ∴当a＝1时，f(x)在 (0，＋∞)上有且只有一个零点. (2)必要性：ln－ae2(x－1)≤x－a2e(x－1)－在(1，＋∞)上恒成立， 即ln－≤a·e2(x－1)－a2·e(x－1)在(1，＋∞)上恒成立， 当a＝0时，ae2(x－1)－a2e(x－1)＝0， 因为y＝ln x－(x－1)≤0恒成立， 则ln－≤0， 当a>0时， 令m(x)＝ln－，x>1，m′(x)＝， 当x>时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 当1<x<时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 所以m(x)≤m＝0. 当a>0时，x＝，0≤a·e－a2·， 则a·e≥0， 即1－≥0，得a≤2. 综上，a的取值范围为[0，2]， 充分性：当a∈[0，2]时， ln－－a[e2(x－1)－a·e(x－1)]≤0，① 当a∈[0，2]时，e2(x－1)－a·e(x－1)≥e2(x－1)－2·e(x－1). 令n(x)＝e2(x－1)－2·e(x－1)，x>1，则n′(x)＝2e2(x－1)－2e. 当x>1时，n′(x)单调递增，且n′＝2e－2e＝0， 故当x∈时，n′(x)<0，n(x)单调递减， 当x∈时，n′(x)>0，n(x)单调递增， ∴n(x)≥n＝e－e＝0， ∴x>1，a·n(x)≥0. 由已知得x>1，ln－≤0. ∴①式成立，∴a∈[0，2]. [技法总结]　1.已知f(x)≤0(或f(x)≥0)，找f(x)的极大值(或极小值)点探路； 2.对于f(x)≤g(x)，找f(x)的极大值点，g(x)的极小值点探路. 训练2 已知a>0，函数f(x)＝ax2－x，g(x)＝ln x.是否存在实数a，使f(x)≥g