2024届高考数学模拟卷 （新结构版）

2024届明日之星高考数学精英模拟卷【新结构版】 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知向量，，且，则() A. B. C. D.8 2.已知复数z满足，则复数z的虚部为() A.i B.1 C. D. 3.下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表： x 2 3 4 5 6 y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表数据求得线性回归方程，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为() A.8 B.9 C.10 D.11 4.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论： ①； ②； ③若整数a，b属于同一“家族”，则； ④若，则整数a，b属于同一“家族”. 其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是() A. B. C. D. 6.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为() A. B. C. D. 7.已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为() A. B. C. D. 8.已知圆与圆交于A，B两点，且四边形OACB的面积为3r，则() A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则的值可能为() A. B. C. D. 10.已知，下列不等式恒成立的是() A. B. C. D. 11.已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是() A. B.若，则直线MN恒过定点 C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 D.若，则直线MN的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，则___________. 13.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______. 14.已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 16.（15分）如图，在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面ACD； （2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 17.（15分）以双曲线的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点. （1）求C的方程. （2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A，B两点时，直线，的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由. 18.（17分）现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为. （1）求第3次取出的球是蓝球的概率； （2）求的解析式. 19.（17分）设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”. （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围； （3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意，得，解得，所以，所以.故选C. 2.答案：D 解析：设复数，，又，可得，解得， 所以复数z的虚部为.故选D. 3.答案：C 解析：，，因为过点，所以，即.所以回归方程为.由题意得，解得.又因为，所以该设备使用年限的最大值约为10.故选C. 4.答案：C 解