2024届高考数学（文科）模拟卷（全国卷）

2024届明日之星高考数学（文科）精英模拟卷【全国卷】 【满分：150分】 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数为纯虚数，则实数a等于() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.设全集，集合，，则() A. B. C. D. 3.已知向量a，b满足，，则() A.4 B.3 C.2 D.0 4.设，则“”是“”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知数列是等差数列，前n项和为，若，，则() A.10 B.15 C.20 D.40 6.中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为()（单位：厘米） A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知，若恒成立，则k的最大值为() A.4 B.5 C.24 D.25 8.若双曲线（，）的左，右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q.当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为() A. B. C. D. 9.堑堵即底面为直角三角形的直棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》.如图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体）.已知鳖臑体积为6，，，则阳马中AC与DF夹角的余弦值为() A. B. C. D. 10.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是()    A. B. C. D. 11.设函数在R上满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是() A. B. C. D. 12.已知椭圆的离心率为，左顶点是A，左､右焦点分别是，，M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交点为N.若，则直线的斜率为() A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元. 14.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，，且，，则__________. 15.已知为锐角，，则__________. 16.已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数k的取值范围是__________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，. （1）求的面积； （2）若，求b. 18.（12分）为了了解手机用户对手机操作系统A的期待程度，某公司随机在20000人中随机抽取了100人调查，记录他们的期待值，将数据分成，，…，6组，其中期待值不低于60的称为非常期待A系统，现整理数据得到如下频率分布直方图. （1）试估计样本中期待值在区间内的人数； （2）请根据所提供的数据，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待A系统与性别有关； 非常期待 不非常期待 合计 男 55 女 20 合计 100 （3）为了答谢用户对A系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中用分层抽样的方法抽出六名代表参加A系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率. 19.（12分）如图，PA是三棱锥的高，线段BC的中点为M，且，. （1）证明：平面PAM； （2）求A到平面PBC的距离. 20.（12分）已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若的极大值为5，求实数a的值. 21.（12分）已知抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（异于坐标原点O）. （1）若，证明：直线过定点； （2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交C于M，N两点，试问是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.