函数与导数复习 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

函数与导数

第1招　由“导”寻“源”，破解函数不等式问题

在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．

[典例]　设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)　　 B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)  D．(0,1)∪(1，＋∞)

(1)利用和、差函数求导法则构造函数

①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；

②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；

特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.

 

(2)利用积、商函数求导法则构造函数

①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；

②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．

(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数

①对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；

②对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；

③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；

④对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；

⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；

⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；

⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)；

⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)；

⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)；

⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)．

⑪(理)对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)；

⑫(理)对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；

[应用体验]

1．定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________．

2．已知定义在内的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则不等式f(x)<2fsin x的解集为__________．

 

 

一、选择题

1.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为(　　)

A．(－3，－2)∪(2,3)

B．(－，)

C．(2,3)

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

2．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集为(　　)

A．(0,1)　　　　　　 B．(1，＋∞)

C．(1,2)  D．(2，＋∞)

3．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集为(　　)

A．(－∞，1)  B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)  D．(－1,0)∪(0,1)

 

4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞)            B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)        D．(－∞，－3)∪(0,3)

 

5．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对于任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)

A．af(a)≤f(b)  B．bf(b)≤f(a)

C．af(b)≤bf(a)  D．bf(a)≤af(b)

6．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，2f(x)＋xf′(x)>x2，则下面的不等式在R上恒成立的是(　　)

A．f(x)>0  B．f(x)<0

C．f(x)>x  D．f(x)<x

7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)  B．(－1，＋∞)