2.3函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

函数的基本性质（一） 函数是描述事物变化规律的数学模型. 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本上掌握了相应事物的变化规律. 在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质. 问题1 观察下列函数图象，请你说说这些函数各有什么变化趋势？ 1 2 3 4 5 -1 0 6 7 x 8 9 y -2 -3 -4 -5 -6 问题2 下图是函数 的图象，它在定义域R上是递增的吗？ 问题3 （1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大” ？ 例如 函数 在区间 上递增的. （2）已知 ， 若有 . 能保证函数 在区间 上递增吗？ 回顾 用“任意”代替一一验证 即 若任意 ，都有 ，则 . 那么就说在f(x)这个区间上是 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. x O y x1 x2 f(x1) f(x2) 设函数y=f(x)的定义域为I ,区间 D I. 如果对于属于定义域 I 内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 设函数y=f(x)的定义域为 I ,区间D I. 如果对于属于定义域 I 内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是 增函数，D称为f(x)的单调 区间. 增 当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 )， < 当x1<x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )， < > 单调区间 7 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 注意： 判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数. x y o （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 注意： 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。 （3） x 1, x 2 取值的任意性 y x O 1 2 f(1) f(2) 例1、根据图像指出定义在[-5,5]上的函数 的单调区间，并说明它在每个单调区间上是增函数还是减函数。 解：函数 的单调区间有：[-5,-2),[-2,1), [1,3),[3,5]. 在区间[-5,2), [1,3)上是减函数，在区间[-2,1), [3,5]上是减函数。 练习：根据下列函数的图像，指出其单调区间。 练习：根据下列函数的图像，指出其单调区间。 练习：根据下列函数的图像，指出其单调区间。 例2 物理学中玻意耳定律 （常数 ）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减小时，压强 将增大.试用函数的单调性证明. 证明: 1 2 3 4 1.设量(自变量); 2.作差变形; 3.判断; 4.结(论) 用定义证明函数单调性的四步骤： （1）设量: 在所给区间上任意设两个实 数 （2）作差： （3）变形： 作差 通过“因式分解”、“通分”、“配方” 等手段将差式变形为因式乘积或平方和 判断 的符号，并作出单调性结论 （4）结论: 课堂小结 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？ 关键词： 三种语言，证明方法， 数学思想，情感体验. $$