第27章相似(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

第27章相似 板块一：知识精讲 1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 4．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 5．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 板块二：典题精练 一、单选题 1．如图，，那么下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长度是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 4．如图，将长为8 cm，宽为4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为(　　) A． B．2 C．3 D．4 5．如图，已知和均为等边三角形，点在边上，与相交于点，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，为半圆的直径，、分别切于，两点，切于点，连接、，下列结论：①，②，③，④，⑤，正确的有（ ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有【 】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD＝（    ） A． B．2 C． D．1 9．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 10．舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为 . 11．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB＝10．那么CD的长度是 ． 12．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥