专题10 新定义类问题（压轴题）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

专题10 新定义类问题 01高频考点·以考定法（六大命题方向+六道高考预测试题，高考必考17分） · 命题点1 三角函数类新定义 · 命题点2 数列类新定义 · 命题点3 空间几何体类新定义 · 命题点4 解析几何类新定义 · 命题点5 统计概率类西定义 · 命题点6 导数类新定义 04创新好题·分层训练（ 精选11道最新名校模拟试题） 在九省联考中，最后一道新定义类的压轴题引起了广大学生老师的注意，也成为今年高考压轴题的一个重点题目，本文整理了六大类关于新定义类的一些题目。希望有所帮助。 · 命题点1 三角函数类新定义 典例01（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． (1)试求，，，的值； (2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 典例02 （2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.    (1)用表示点的横坐标和纵坐标； (2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值； (3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度. · 命题点2 数列类新定义 典例01 （2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”. (1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式； (2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式； (3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 典例02 （23-24高三下·江苏镇江·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？ (2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）； (3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为； (4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？ · 命题点3 空间几何体类新定义 典例01 1．（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值；②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 典例02 （2024·山东日照·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．    (1)当时， ①求证：；②求平面和平面所成角的余弦值； (2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． · 命题点4 解析几何类新定义 典例01 （2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的