微考点2-3 导数中的六大同构体系-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

微考点2-3 二轮复习导数中的六大同构体系专项突破 【考点分析】 知识点一：结构一致性同构 这类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，目前多以构造函数比较大小的形式出现，例如： ①，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. ②：先去研究的单调性才行，去掉绝对值后成为 . ③已知设，则，即证为减函数. 知识点二：指对数同构 解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①；②；③；④；⑤. 1.直接变形： （1）积型：（同左）； （同右）； （取对数）. 说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知. （2）商型：（同左）；（同右）；（取对数）. （3）和差型：（同左）； （同右）. 2.先凑再变形： 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有： ①； ②； ③ ④ ⑤ 题型一：导数中的结构一致性同构 【精选例题】 【例1】若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4】若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若，则（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知（）． （1）讨论的单调性； （2）若，，,，，恒成立，求实数的取值范围． 题型二：恒成立同构问题 【精选例题】 【例1】若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】若，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5】若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设函数，若，恒成立，则的取值范围是 ． 2.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 . 3.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 4.若，则实数a的取值范围为 ． 5.已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ． 6.已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 . 题型三：函数零点的同构问题 【精选例题】 【例1】已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，其中. （1）当时，求的最小值； （2）讨论方程根的个数. 题型四：同构出多变量之间的关系 【例1】已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数和有相同的最小值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 【跟踪训练】 1.已知函数，，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数和有相同的最大值. （1）求实数； （2）设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 题型五：朗博同构与隐零点代换 朗博不等式是近年来随着函数同构出现的一个热门的不等式，其原理如下：下面主要注意的是，那么根据指数函数的基本不等式可得：，等号成立当且仅当. 【例1】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】已