专题02 三角恒等变换（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019)选择性必修第二册期中考点大串讲 串讲03 解三角形 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 01考点透视 02 典例剖析 要点一　利用正弦、余弦定理解三角形 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 解　在△ABC中，由正弦定理得， 代入数据化简得：b2－9b＋20＝0， ∴b＝4或b＝5. 若b＝4，而在△ABC中，a＝4， ∴△ABC为等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°， 这与已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.经检验b＝5满足题意. 综上，b的值为5. 要点二　利用正弦、余弦定理解决三角形面积问题 求三角形的面积需知道三角形的边及角，因此求三角形的面积与正、余弦定理的应用密切相关，常见的三角形面积公式有以下几种： 辨析，判断正误 所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， (1)求B； 又0°<B<180°，所以B＝60°. (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 又由(1)知A＋C＝120°， 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 要点三　正弦、余弦定理在实际问题中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用正、余弦定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 【例3】　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 海里的A处，并正以30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ 解　设相遇时小艇航行的距离为s海里， (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 解　设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， ∵0<v≤30， 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20. 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30 海里/时. 【训练3】　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 解　①需要测量的数据有：从A点观测M，N点的俯角α1，β1，从B点观测M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). 第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得 第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得 法二　第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得 第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得 第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得 要点四　利用正、余弦定理判断三角形形状 根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. 【例4】　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状. 解　法一　由正弦定理及已知得2sin B＝sin A＋sin C， ∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C， ∴sin(C＋30°)＝1.∵0<C<120°，∴C＋30°＝90°， ∴C＝60°，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形. ∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°， ∴△ABC为等边三角形. ∴sin Ccos C＝sin Bcos B， 即sin 2C＝sin 2B，∵B，C均为△ABC内角， ∴2C＝2B或2C＋2B＝180°， 即B＝C或B＋C＝90°， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 要点五　正、余弦定理与其它知识的综合 对于正、余弦定理的综合问题，首先要熟练使用正、余弦定理，其次