专题10 三角形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题10 三角形压轴题综合 目录 热点题型归纳 1 题型01 三角形与旋转变换 1 题型02 三角形与平移变换 4 题型03 三角形与翻折变换 5 题型04 三角形类比探究问题 8 中考练场 10 题型01 三角形与旋转变换 【解题策略】 三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。 【典例分析】 例.（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【变式演练】 1．（2023·贵州贵阳·二模）在中，，在中，，已知和有公共顶点A，连接和． (1)如图①，若，，当绕点A旋转，和的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图②，若，当绕点A旋转，（1）中和的数量关系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，在旋转过程中，当C，B，D三点共线时，请直接写出的长度． 2．（2023·广西桂林·一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点． (1)老师提了一个问题：试证明． 小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题． 请帮小丽继续完成证明过程． 证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结； (2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、． ①小昆猜想：，请帮他给出证明； ②图2中始终与相等的线段有 ； ③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ． 3．（2023·吉林·一模）如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点． (1)如图1，若和是等腰三角形，求证：； (2)如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度． 题型02 三角形与平移变换 【解题策略】 考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 【典例分析】 例．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图1，在中，，沿方向向左平移得到，A、对应点分别是、．点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接．    (1)当点与点重合时，求的长； (2)如图2，连接、．在点的运动过程中： ①和是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由； ②当的长为多少时，能构成等腰三角形？ 【变式演练】 1．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，中，经过点A，且，垂足为E，． (1)以点E为中心，逆时针旋转，使旋转后的的边恰好经过点A，求此时旋转角的大小； (2)在（1）的情况下，将沿向右平移．设平移后的图形与重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． 2.（2023·四川成都·一模）如图1，在中，，以为底边作等腰，连接，作，使得，且．    (1)如图2，若，请按题意补全图形，并写出画图步骤； (2)将线段沿的方向平移得到线段，连接， ①如图3，若，求的长；②若，直接写出的长． 题型03 三角形与翻折变换 【解题策略】 考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 【典例分析】 例．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【变式演练】 1．（2024·安徽阜阳·一模）（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 2．（2023·陕西榆林·一模）【问题背景】 （1）如图1，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，则______ （2）如图2，在正