重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为 A. 8 B. 11 C. 16 D. 10 4. 形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲．共有多少种分法（ ） A. 6 B. 15 C. 9 D. 12 5. 在数列中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（ ） A. 136 B. 153 C. 190 D. 210 7. 直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（ ）（精确到0.01） A. 0.08 B. 0.07 C. 0.06 D. 0.05 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.005 B. 低于70分的考生人数约为40人 C. 考生成绩的平均分约为73分 D. 估计考生成绩第80百分位数为82.5分 10. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C D. 11. 函数有两个零点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率______. 13. 已知实数不为零，展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中项的系数为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆过椭圆的上顶点，双曲线和椭圆有相同的焦点，为曲线与的一个公共点，若，则曲线与的离心率的乘积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和，等比数列满足，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式： （2）记，求数列的前项和. 16. 年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响． （1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率； （2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率． 17. 已知函数在点处的切线斜率为1． （1）求实数的值并求函数的极