广东省茂名市田家炳中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

茂名市田家炳中学2026-2027学年第一学期高二级10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（   ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 2．已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A．25 B．30 C．35 D．36 4．已知空间中直线、和平面、，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中不正确的是（   ） A．有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C．如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 7．在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD．若，则（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是BC边上的中线，且AD=，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全得3分。 9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图在鳖臑中，平面，，，，则下列说法中正确的是（    ） A．平面平面 B．二面角的余弦值为 C．与平面所成角为 D．三棱锥外接球的表面积为 11．某校在高二年级开展了数学建模活动，为评估活动效果，从全年级随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分，满分100分）进行分析．按[50,55)、[55,60)、[60,65)、[65,70)、[70,75)、[75,80)、[80,85)、[85,90)、[90,95)、[95,100]分组后，得到如下频数分布表，则（    ） 分组 [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频数 4 8 12 18 22 16 10 5 3 2 A． B．这100名学生成绩的第75百分位数是80 C．若用这100名学生成绩的频率估计全年级学生成绩不低于80分的概率，则该概率的估计值为0.2 D．用分层随机抽样，按[60,70)与[80,90)两层的样本量之比，从这两层中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，则这2人来自同一层的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是____________. 13．已知向量与夹角为，且，，则______． 14．某密码破译小组有甲、乙、丙三人，他们各自独立破译同一份密码．已知甲能破译出该密码的概率为，乙能破译出该密码的概率为，丙能破译出该密码的概率为，且三人的破译结果相互独立．若记事件A为“该密码被破译出”，则P(A)=______；事件“该密码恰好被其中两人破译出”的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（本小题满分13分） 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求B； (2)若b=3，求周长的取值范围． 16．（本小题满分15分） 每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200名学生每天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知落在的样本数据的平均值是53，方差是4；落在的样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 17．（本小题满分15分） 已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. (1)从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率； (2)从中一次取2个球，试列出所有基本事件，并求至少有一个是红球的概率； (3)从中有放回地取2次球，每次只取一个球，求至少有一个是红球的概率. 18．（本小题满分17分） 某校高二年级举行物理竞赛，甲、乙两个参赛小组各6名同学的成绩（单位：分，满分100分）如下： 甲组：74，83，85，86，88，94；乙组：72，82，85，87，90，94。 (1)分别求甲、乙两组成绩的平均数和方差，并判断哪一组的成绩更稳定； (2)从甲组6名同学中随机抽取2人，求这2人的成绩之差的绝对值不小于10的概率； (3)现从甲、乙两组中各随机抽取1名同学，设两次抽取的结果相互独立. 记“甲组抽到的同学成绩不低于85分”为事件A，“乙组抽到的同学成绩不低于85分”为事件B，求概率． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，底面，分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 茂名市田家炳中学 2026-2027 学年第一学期高二级10月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C B C A C BC ABC CD 12．83.5 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】成绩按从小到大排列为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86. ， 第80百分位数为第8个和第9个数据的算术平均数，即， 故答案为：83.5 13． 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14． 【分析】利用独立事件的概率乘法与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率. 【详解】设“甲能破译出该密码”为事件M，“乙能破译出该密码”为事件N，“丙能破译出该密码”为事件R，则,,，且M、N、R两两相互独立. (1)事件A“该密码被破译出”的对立事件是“甲、乙、丙三人都没有破译出”，所以. (2)“该密码恰好被其中两人破译出”包含以下三个互斥情形： ①甲、乙破译出而丙没有破译出：； ②甲、丙破译出而乙没有破译出：； ③乙、丙破译出而甲没有破译出：. 因为这三个情形两两互斥，所以所求概率为 . 故答案为：. 15．(1) (2)周长的取值范围是 【详解】（1）∵，∴. 由正弦定理，条件可化为， 即， ∴. 又，∴，即. ∵，∴. （2）由正弦定理得. ∴，. ∵，∴（且）. ∴周长. 又， ∴. ∵，∴. ∴，则， 即周长的取值范围是. 16．(1)； (2)59，60 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （2）由分层抽样的方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，， 解得； 根据频率分布直方图， 所以； （2）由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）从6个球中任取1个球，共有6种等可能的取法，其中取得红球或黑球的取法有种；由古典概型的概率公式得任取1球取得红球或黑球的概率 ； （2）将红球编号为、，黑球编号为、、，白球记为W。从6个球中一次任取2个球，所有基本事件为：，共15种，且每种取法等可能； 其中“至少有一个是红球”包含：，共9种； 故“至少有一个是红球”的概率为． （3）方法一：从6只球中有放回地取两球，一共有种取法， 其中至少有一个红球的取法共有种， 所以至少有一个红球的概率为． 方法二：每取1个球都有6种取法，有放回地取2次，共有种等可能的结果； 考虑其对立事件“两次都没有取到红球”：每次取到非红球都有4种取法，故该事件包含种结果； 所以“至少有一个是红球”包含36-16=20种结果； 所以至少有一个红球的概率为． 18．(1)甲、乙两组成绩的平均数均为85分；甲组方差为36，乙组方差为48；甲组成绩更稳定 (2) (3) 【详解】（1）甲组成绩的平均数； 甲方差； 乙组成绩的平均数； 乙方差； 因为两组平均数相同（都是85分），而甲组的方差36小于乙组的方差48，说明甲组的成绩波动更小，所以甲组的成绩更稳定； （2）从甲组6名同学中随机抽取2人（不放回），所有可能的结果共有15种，且每种结果等可能； 设事件A为“抽到的2人成绩之差的绝对值不小于10”，用(a,b)表示抽到的两位同学的成绩， 则事件A包含：(74,85)，(74,86)，(74,88)，(74,94)，(83,94)，共5种结果； 所以； （3）甲组6名同学中，成绩不低于85分的有94，88，86，85共4人，故； 乙组6名同学中，成绩不低于85分的有94，90，87，85共4人，故，且． 解法一：由一般加法公式得； 解法二：“至少有一个发生”型问题可优先考虑对立事件。设事件A与B的对立事件分别为与，则，同理。因为两次抽取相互独立，所以， 故，即至少有一人成绩不低于85分的概率为． 19．(1)证明：取的中点，连接，    ∵是的中点， ∴，且， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴，且， 又∵是的中点， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面 ∴平面. (2)45°； (3). 【分析】（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面 ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ，、平面， ∴平面， 又∵平面， ∴为二面角的平面角， ∵， ∴为等腰直角三角形 ∴，即二面角的大小为. （3）方法一：几何法 由（2）知，为等腰直角三角形 ∵是斜边的中点， ∴， 由（1）知，， ∴， 又由（2）知，平面，平面， ∴ ， ∴ ， 又∵平面， ∴平面， ∴是直线在平面上的射影， ∴为直线与平面所成的角， 在中，，， ∴， 在等腰直角中， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， 即直线与平面所成角的正弦值为. 方法二：建系法 以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。 由AD=2，CD=，PA=AD=2，得A(0,0,0)，B(,0,0)，C(,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(,0,0)； 所以，，。 设平面PCD的法向量，由，，得x+2y-2z=0，2y-2z=0， 取y=1，得； 所以； 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $