期中压轴题专训30题（第十六、十七、十八章）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

八年级下学期【压轴题30题专训】 一．解答题（共30小题） 1．（2023•舟山二模）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（ 　 　+　 　 ）2； （3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值． 2．（2023秋•大渡口区校级月考）阅读下面计算过程： ＝ ＝ 试求： （1） 的值为 　 　． （2）求+...+的值． （3）若，求a2﹣4a+4的值． 3．（2023秋•市中区期中）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）＝　 　，＝　 　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 4．（2023秋•安化县期末）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是 　 　．（写出一个即可） （2）化简：． （3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 5．（2023秋•岳阳期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：＝　 　，＝　 　； （2）m是正整数，，且2a2+1955ab+2b2＝2023，求m． （3）已知，求的值． 6．（2023秋•中原区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：S＝（秦九韶公式）； 古希腰数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：S＝（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　 　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15． ①△ABC的面积为 　 　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． 7．（2023秋•南安市期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，xy＝2，求x2+y2的值； 【类比应用】（2）若（x﹣3）（x﹣4）＝1，求（x﹣3）2+（4﹣x）2的值； 以下是亮亮同学的解法： 解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12＝1， ∴x2﹣7x＝﹣11， ∵（x﹣3）2+（4﹣x）2＝x2﹣6x+9+16﹣8x+x2＝2x2﹣14x+25， ∴（x﹣3）2+（4﹣x）2＝2（x2﹣7x）+25＝2×（﹣11）+25＝3． 爱动脑筋的琪琪同学看了亮亮同学的解法后，灵机一动说到：“我还有其它不同的解法．”请你结合材料，类比第（1）题进行解答； 【知识迁移】（3）两块形状大小都相同的直角梯形（∠AOC＝∠BCO＝∠DOF＝∠EFO＝90°），如图2所示放置，其中A、O、F三点在同一直线上，连接AD、CF．若AF＝14，每一个直角梯形的面积为69，且下底是上底的2倍，求△AOD与△COF的面积之和．