专题04 因式分解（考点清单，知识导图+5个考点清单、题型解读）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

清单04：因式分解 【考点题型一】因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式. 【例1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级上·山东济南·期中）下列从左到右的运算是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】因式分解的方法： 【例2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）分解因式：​ (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】（22-23八年级上·四川眉山·期中）分解因式： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式2-4】（22-23八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【考点题型三】因式分解在化简求值的应用 【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式3-1（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【变式3-2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·重庆·期中）简便计算： (1)； (2)． 【变式3-4】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【考点题型四】因式分解的应用 【例4】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如∶①用配方法分解因式∶， 解∶原式； ②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶， 不论取何值，总是非负数，即． ， 当时，有最小值，最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： (1)分解因式（利用配方法）：； (2)若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由； (3)已知是的三条边长，若满足，求的周长． 【变式4-1】（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（23-24八年级上·山东淄博·期中）已知三角形的三边满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式4-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）①已知，求的值． ②已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【变式4-4】（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 【考点题型五】因式分解的综合问题 【例5】（23-24八年级上·北京西城·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；