专题9 对角互补模型（相似模型）-【浙江新中考】2024年中考数学常见几何模型专项复习讲义

专题9 对角互补模型（相似模型） 【知识梳理】 对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等或相似三角形的证明、倒角的计算（八字倒角、对角互补的四边形的外角等于内角的对角、角的加减等）、线段数量关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，无论是在校内考试、还是中考中一直都是热门考点。对角互补模型在八年级陆续就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以解答题的题型进行考察。此时是利用构造全等进行解决问题。九年级时会利用构造相似进行解决问题。 【模型分析】 模型.对角互补模型（相似模型） 1、 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 2、 常见的对角互补模型：含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、 -（）对角互补模型。 3、 解题策略：对角互补模型最常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等或相似三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等或相似. 4、 解题思路：一般地来说，没有“等线段”，只能作双垂，通过构造旋转相似三角形来解决；有“等线段”，既可以通过作双垂，构造旋转全等三角形来解决，也可以通过“捆绑旋转”，构造手拉手全等三角形来解决。 【模型展示】 模型、旋转中的对角互补相似模型 1）对角互补相似型—90°的两种证明方法 方法:1：双垂线法： 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论：①△ECG∽△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）【证明】如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； ∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO=180°， ∵∠CDF+∠CDO=180°，∴∠CDF=∠CEO, ∵CF⊥OA，CG⊥OB，∴△ECG∽△DCF，∴结论①成立； 由结论①可得△CEG∽△CDF，即，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG， 在Rt△COG中，，∴CE＝CD·；∴结论②成立。 方法2：旋转构造法： 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论：①△CFE∽△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 【证明】如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F； ∵∠DCE＝90°，CF⊥OC， ∴∠DCO+∠OCE=90°，∠OCE+∠ECF=90° ∴∠DCO=∠ECF， ∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO=180°， ∵∠CDF+∠CDO=180°，∴∠CDF=∠CEO, ∴△CFE∽△COD 可得. 2）直角三角形中的对角互补相似 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：①△ODE∽△OHF；②（思路提示：）. 【证明】过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， ∵∠C＝∠EOF＝90°，OD⊥AC，OH⊥BC， ∴△AOD∽△ABC，△BOH∽△BAC，△ODE∽△OHF，∴结论①成立； ∵△AOD∽△ABC，∴ ∴①， ∵△BOH∽△BAC，∴ ∴②， ∵△ODE∽△OHF，∴③， 把①②代入③中，得∴结论②成立， ∵点O是AB的中点，∴AO=BO， ∴ 3） 对角互补相似与四点共圆 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 结论：①△DAE∽△DCF；②ABCD四点共圆。 【证明】过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 【典型例题精析】 【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F． (1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______． (2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______． ②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程． (3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似． 【典型例题】 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________． 例2、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论: ①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3、如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BC