2024年高考数学双曲线知识点总结+大题跟踪训练

2024年高考数学双曲线知识点总结+大题跟踪训练 知识点总结 定义 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 实轴的长 虚轴的长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 关系 离心率 渐近线方程 焦点到渐近线距离 焦点三角形面积 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： 跟踪训练 1．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为 （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上. 2．已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）. （1）求双曲线的方程； （2）设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可） 3．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. （1）设，求证：是定值； （2）求的取值范围. 4．已知双曲线C：的离心率为，且过点． （1）求双曲线C的方程； （2）若动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上，，证明：存在定点T，使得为定值． 5．设双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作直线的垂线（点，在直线的两侧），垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．已知双曲线的渐近线方程为，点，分别为双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，且的周长为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点，与直线，分别交于P，Q两点，求的取值范围． 7．已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点. （1）求双曲线C的方程； （2）记直线的斜率分别为，求的最小值. 8．已知双曲线：（，）与双曲线的渐近线相同，点在上，为的右焦点． （1）求的方程； （2）已知是直线：上的任意一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 9．如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，，点P是C上异于左、右顶点的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为，且． （1）求C的方程； （2）若点M满足，记的面积分别为．试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 10．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设 （1）求双曲线Q的标准方程； （2）求证：C，D，B三点共线； （3）若面积为，求直线l的方程． 答案解析部分 1．【答案】（1）设双曲线方程为， 又左焦点，离心率， 可得，， ∴ 双曲线方程为 （2）由（1）知，， 设，， ①若直线斜率为0，则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上. ②若直线MN斜率不为0，由直线过定点 ， 设：， 联立，整理得：， 其中，，， 直线的斜率，即此时直线的方程为 同理可得直线的方程为 联立方程可得 解得， 即点P在定直线上运动。 2．【答案】（1）解：如图， 由题意知双曲线的渐近线方程为即， 所以，所以双曲线的方程. （2）解：由(1)得，所以，所以， 设点，即， 由得，所以① 设直线，与双曲线方程联立得：， 因为方程有两个不同的实数根，所以 ， 所以由①式代入变形得， 将韦达定理代入消去化简得，即直线恒过定点. 由此可得. 由于图像的对称性，不妨设， 则， ， 所以， 将韦达定理代入后得到， 解得或. 所以，直线方程为，或， 或，或（写出一条即可） 3．【答案】（1）证明：由是直线与抛物线的两个交点， 显然直线不垂直y轴，点， 故设直线的方程为，由消去并整理得， 所以为定值. （2）解：由（1）知，直线的斜率，方程为， 令，得点的横坐标，设， 由消去得， ， ， 而直线的方程为，依题意， 令，得点的横坐标 ， 因此， 所以的取值范围是. 4．【答案】（1）解：由题意知：解得， 所以双曲线的方程为． （2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，， 联立整理得， 则，，，． 直线PM，PN与轴相交的两点分别为，， 所以直线的方程为， 令，则，同