大题强化及变式训练（19）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（19） 1．在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 变式：如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； （1）若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； （2）若直线与平面所成角正弦值为，求线段的长． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若是钝角，，求面积的取值范围． 变式：在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且. (1)求角A； (2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围. 3．为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值； （2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； （3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 变式：根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 1 2 3 0 （其中） 每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值，使得，请说明理由. 4．已知椭圆E：过点，离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点． 变式：已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点． （1）求的方程； （2）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：． 5．如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”． （1）若，求的值； （2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 变式：已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质： ①（）； ②（）； ③（） （1）当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值； （2）若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列； （3）当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（19） 1．在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，可得；在中，根据题意可证，又是的中点，得，即可得到结论. （2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角公式即可. 【解析】（1）设与交点为，连接．    四边形是菱形，是的中点． 在中，是等边三角形，． 在中，是的中点，． 又平面，平面． （2）连接， 是等边三角形，是线段的中点， 又平面平面，平面平面，平面， 平面． 以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系， 不妨设，则，， 于是， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角大小为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 变式：如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； （1）若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； （2）若直线与平面所成角正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点； （2）先建立空间直角坐标系，再求得平面的法向量，设，则，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到的长. 【解析】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如